Сингулярные системы линейных дифференциальных уравнений и линейные уравнения с обобщенными функциями

• Автор: Федоров, Дмитрий Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Ижевск
• Количество страниц: 103 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
Глава I. РЕГУЛЯРНЫЕ И СИНГУЛЯРНЫЕ СИСТЕМЫ
ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1. Сведение краевых задач для сингулярных систем дифференциальных уравнений к интегральному уравнению
§2. О других способах сведения краевых задач к интегральным уравнениям
Глава II. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕРРОНА-СТИЛТЬЕСА
§1. Интеграл Перрона-Стилтьеса
§2. Предельный переход под знаком интеграла Перрона-Стилтьеса
§3. Интегральные операторы Перрона-Стилтьеса
§4. Интегральное уравнение типа Фредгольма
§5. Интегральное уравнение4 тигщуьрра
§6. Резольвента
§7. Построение резольвенты уравнения Фредгольма
§8. Построение резольвенты уравнения Вольтерра
§9. О представлении решений некоторых уравнений типа Вольтерра в условиях отсутствия резольвенты
Глава III. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕР-
РОНА-СТИЛТЬЕСА К ЛИНЕЙНЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ УРАВНЕНИЯМ
§1. Краевые задачи
§2. Решение задачи Коши для регулярных и сингулярных систем линейных дифференциальных уравнений
§3. Примеры
§4. Представление решений задачи Коши для линейных систем с обобщенными функциями в коэффициентах и правой части
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1°. Сингулярные дифференциальные уравнения уже очень давно привлекают внимание исследователей. Интерес к различным задачам для таких уравнений обусловлен широкими приложениями в различных областях математики, физики, техники (например, в теории автоматического регулирования). В последние 3-4 десятилетия появился целый ряд работ, свидетельствующий о том, что исследование сингулярных дифференциальных уравнений по-прежнему актуально. Укажем на работы [41] (в которой рассматривается задача Коши для сингулярного дифференциального уравнения), [47] (задача Коши), [20, 21, 24] (задача Коши, краевые задачи Коши-Николетти, Валле Пуссена, различные двухточечные задачи), [29] (задача Коши), [45, 46] (задача Коши), [2] (задача Коши), [5] (различные краевые задачи), [7, 26. 3, 43. 34. 6, 18] (задача Коши и различные краевые задачи). Отметим также работы Н.В.Азбелева и его учеников [44, 42, 4, 22], посвященные сингулярным краевым задачам для функционально-дифференциальных уравнений (в основном для скалярных). Для указанных работ характерна своеобразная регуляризация, учитывающая характер краевых условий и свойства функции Грина линейной краевой задачи по второму аргументу.
Ряд задач теории автоматического регулирования приводят к необходимости решения краевых и начальных задач для систем дифференциальных уравнений
.4 {і)х' = В(і)х + т (1)

(А(і)хУ = В + /(і) (2)
с. вообще говоря, прямоугольными матрицами А(-) и В(-): в случае, когда А(-) и В(-) — квадратные матрицы, то А(-) может вырождаться в отдельных точках или даже на целых промежутках. Системы вида (1) или (2) возникают и при применении различных приближенных методов решения краевых задач для уравнений в частных производных (см., например, [26, 43, 34]).
Случаю, когда матрицы А(-) и В(-) постоянные, посвящено достаточно большое число работ (см., например, [6, 45, 46, 47, 3, 18, 39]). Для работ этого цикла характерен чисто алгебраический подход. Так, в монографии [6, с. 348] общее решение системы (1) с постоянными т х п-матрицами А(-) и В(-) построено на основе теории элементарных делителей для регулярного и сингулярного пучка матриц А+ХВ. Большинство авторов (см., например, [45, 46, 3, 39]), изучающих систему (1) с постоянными матрицами А(-) и

В(-) сводят задачу для системы (1) к соответствующей задаче для системы
х' = М{х + д{1) (3)
с помощью различных обобщений понятия обратной матрицы (полуобрат-ная матрица, обратная матрица Дразина и др., см. [6, 3]).
В монографии [3] системы (1) и (2) с переменными А(-) и В(-) рассматриваются в предположении, что выполнено некоторое условие регулярности (условие см. [3, с.5,с;.90]). Условие 12 заключается в том, что либо А(-) невырождена, либо в жордановом представлении
А(Ь) = ТУфТ“1 (4)
матрица Т постоянна. Условие О не выполняется, например, для системы (см. [3, с.5])
А)х’ = х, 0 < 2 < 1, (5)
1 + / -{l + t)2
1 -(1 + 0
Матрица А(-) имеет двукратное нулевое собственное значение, а представление (4) имеет место при

где а(-) и р(-) — произвольные функции, обеспечивающие невырожденность Т. Непосредственно из представления видно, что Т не может быть постоянной.
Вопрос о существовании решения задачи Коши и некоторых краевых задач для систем (1) и (2) в монографии [3] конструктивно решен лишь для постоянных А и В, удовлетворяющих к тому же некоторому дополнительному условию совершенства.
В настоящей диссертации системы вида (1) и (2) изучаются при более широких, чем в [3] предположениях.
2°. Не ослабевает интерес к дифференциальным уравнениям с обобщенными функциями в коэффициентах. Наряду со ставшими уже классикой работами [48, 31, 40, 23, 39] укажем на работы [15, 14, 13, 32, 33, 8, 28, 9, 10, 12, 30. 1, 27, 50] (более полно см. обзор по этой тематике в диссертации [11]; см. также библиографию в [33]).
Традиционно системы таких уравнений принято записывать в виде (см. [48, 23, 39, 9, 10])
і - В(і)х + /(*), (6)
Тогда
C~h()
f FsdG = J /idG - F*(c + 8)A+G{c + <5). (1)
Функции Р,)() равномерно ограничены и при 5 —» +0 сходятся поточечно к функции
F()(t)) <: С,
0, £ > с, £ £ [а, Ь].
Поэтому, в силу возможности предельного перехода (см. свойство 5) §1)

rf-ы-о
J = J F„c/6'.

Легко видеть, что lini A+G(c + 8) = 0. а величина Fs(c + 8) ограничена при 8 -> +0. Переходя в равенстве (1) к пределу при 8 -» +0, получим
с+й I) гг+0
lim Г FsdG = Г F0dG = Г F0dG.
д—>4-0 J J J

Лемма доказана.
Следующая теорема является аналогом теоремы Хелли для интеграла Перрона-Стилтьеса. В дальнейшем она используется для построении резольвенты интегральных уравнений.
Теорема 1. Пусть F(-) G BVmM[a,b], последовательность матричных функций Gk( ) £ BVr,jj[a,b] такова, что

и для всех t 6 [а, Ь] существует предел
lim Gk{t) = G(t).
к-tXi
Пусть, кроме того, в точках разрыва г функции F(-) выполняется равенство
lim (A-F(r)Gk{r - 0) + A+F{r)Gk{T + 0))
&-ЮО
= A~F(t)G{t - 0) + A+F(r)G(r + 0). (2)

Тогда. интеграл j FclG существует и выполняется равенство

lim J FdGk = J FdG. (3)