Резонансные краевые задачи для уравнений эллиптического типа с разрывными нелинейностями

• Автор: Винокур, Вадим Вильямович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 107 с.

Содержание
Введение
1 Вариационный метод для уравнений с некоэрцитивными квазипогенциальными операторами
1.1 Формулировка общих вариационных принципов
1.2 Доказательство общих вариационных принципов
1.2.1 Доказательство теоремы 1.1.
1.2.2 Доказательство теоремы 1.1.
2 Метод регуляризации для уравнений с некоэрцитивными разрывными операторами
2.1 Постановка задачи. Основные определения и обозначения
2.2 Формулировка абстрактной теоремы и вспомогательные утверждения
2.2.1 Формулировка теоремы
2.2.2 Вспомогательные утверждения
2.3 Доказательство теоремы 2.2.
3 Приложения к резонансным краевым задачам эллиптического типа
3.1 Предварительные сведения и постановка задачи
3.2 Приложения вариационных принципов
3.2.1 Формулировка основного результата
3.2.2 Вспомогательные утверждения
3.2.3 Доказательство теоремы 3.2.
3.3 Эллиптические резонансные краевые задачи с несимметричной дифференциальной частью
3.3.1 Операторная постановка задачи, предварительные сведения и вспомогательные утверждения
3.3.2 Формулировка основного результата
3.3.3 Доказательство основного результата
Список литературы

Введение
Пусть П - ограниченная область в Мп с границей Г класса
О < а < X, ([17], с.23), Ьи(х) = - X) {щ&ЬчшЬ, + £ +

с{х)и{х) - равномерно эллиптический дифференциальный оператор на П с коэффициентами а^,Ь^ Є СфДП), а.ц(ж) = с Є С?д0(П).
Рассматривается краевая задача вида
Ьи(х) + д(х, «(ж)) = р(х), х Є 12, (0.1)
Ви [г = 0, (0.2)
где нелинейность д(х,и) удовлетворяет условию (*):
функция д : П X К —X М - борелева (шос! 0), т.е. существует боре-лсва функция д : П х К -? К и измеримое множество ! С Й х 1, проекция которого на П имеет меру нуль в К", такие, что д = д на й X і ! ([її], с.157), и для почти всех іЕЙ сечение д(х, •) имеет на К разрывы только первого рода и д(х,и) Є [д-(х,и),д+(х,и)]. д-{х,и) = Нт іціз-щд(х, а), д+(х,и) =
р(х) - суммируемая на П функция; (0.2) - одно из основных кра-евых условий:
и |г= 0, (0.3)

1.2 Доказательство общих вариационных принципов
1.2.1 Доказательство теоремы 1.1.
Положим /(ж) = і(Рх), Ух Є Л'. Так как нуль изолированная точка спектра самосопряженного оператора А, то X разлагается в прямую сумму ортогональных подпространств ЛДА) и Х+ (Л'+ - положительное подпространство оператора А) и существует число а > О такое, что (Ах, х) > о||ж|]'2 Ух Є -Хф, где [ ■ || -- норма в гильбертовом пространстве X. Из самосопряженности оператора А следует, что (Ах,х)/2 - его потенциал [4]. Отсюда и из квазипотенциальности оператораТ следует, что функционал <р(х) = (Ах,х)/2+/(х) — (р,х) - квазипотенциал оператора (ф
В силу условий 1) ■ 3) теоремы 1.1.1 оператор АД монотонный [4] и непрерывный, оператор Р“ТР квазипотенцпальный, вложение X в У компактно, а Т - ограниченный на У оператор. Покажем, что
Нт <р(х) = +оо. (1-5)
||і||-»+оо
Для любого х Є X, х = х + х-у, х е А(А), Х2 Є Аф, имеем <р(х) = (Ах2,х2)/2 + (/(х1+Х2)-/(х1)) + (/(х1)-(р,х)) > |1|ад||2-(Міт[ф||)||ж4|| + (/(жі) —(р,Ж])), где АД = М-|[Р]|3 М-постоянная из условия 3) теоремы 1.1.1 (в силу замечания 1.1.2 | /(х) — /мй [< М|1Рж — Ру\г < Мі\х — у|| Ух,у Є X). Фиксируем є > 0. В силу (1.3) найдется <ід > 0 такое, что /(ж) — (р, х) > 0 для любого