Оценки собственных значений краевых задач на стратифицированных множествах

• Автор: Кулешов, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Содержание
Введение
I Точная оценка первого собственного значения в задаче Штурма - Лиувилля на графе.
1.1 Постановка задачи. Основные понятия
1.1.1 Граф
1.1.2 Функциональные пространства. Мера и интеграл на графе
1.1.3 Задача Штурма - Лиувилля на графе
1.2 Симметризация функции на графе. Принцип Пойя - Сегё
1.3 Принцип Рэлея для лапласиана на графе
1.4 Оценка первого собственного значения
1.5 Комментарии к главе
II Оценка первого собственного значения в задаче Штурма -Лиувилля на стратифицированном множестве.
2.1 Основные понятия
2.1.1 Стратифицированное множество
2.1.2 Мера и интеграл Лебега на стратифицированном множестве
2.1.3 Дивергенция и лапласиан на стратифицированном множестве
2.2 Задача на собственные значения оператора Лапласа и принцип Рэлея на стратифицированном множестве
2.3 Симметризация Шварца на стратифицированном множестве. Изопериметрическое неравенство

2.4 Принцип Пойя - Сеге и оценка первого собственного значения
лапласиана на стратифицированном множестве
III Неравенство Пуанкаре. Задача Дирихле для
р-лапласиана. Неравенство Соболева на стратифицированном множестве.
3.1 Неравенство Пуанкаре на стратифицированном множестве
3.2 Задача Дирихле для р-лапласиана на стратифицированном множестве
3.3 Неравенство Соболева на стратифицированном множестве
3.3.1 Неравенство Соболева для мягкого лапласиана
3.3.2 Неравенство Соболева для жесткого лапласиана
3.4 Заключение
Введение.
Актуальность темы. В последние два десятилетия все большее внимание к себе привлекают дифференциальные уравнения на так называемых стратифицированных множествах - связных подмножествах обычного евклидового пространства, представленных в виде объединения конечного числа его гладких подмногообразий, примыкающих друг к другу особым образом. Такой интерес обусловливается целым рядом причин. Прежде всего, к изучению стратифицированных множеств приводят задачи, связанные с изучением и моделированием различных явлений происходящих в сложных физических системах, например, в системах составного типа, отдельные элементы которых имеют совершенно разные физические характеристики, такие как

размерность, плотность и т.п. В качестве примера чаще всего приводят задачу о колебаниях механической системы, составленной из струн, мембран и упругих тел, а также задачу о диффузии в в сильно неоднородных средах. Решение таких задач в рамках классической теории дифференциальных уравнений оказывается довольно затруднительным, что в результате и приводит пас к потребности дальнейшего развития методов математического анализа и теории дифференциальных уравнений, чтобы сделать их пригодными и в случае, когда рассматриваются функции на стратифицированных множествах.
С другой стороны, теория стратифицированных множеств не только дает возможность решать новые задачи, но и позволяет взглянуть по-новому на давно известные и хорошо изученные математические вопросы и в каких-то случаях указать связь между, казалось бы, разными задачами. Например, задача Дирихле на стратифицированном множестве, как это не покажется странным, содержит, как частные случаи практически все известные классические краевые задачи (Неймана, Робена, Вентцеля). Так что можно сказать, что кроме задачи Дирихле (если интерпретировать их как задачи на стратифицированных множествах) больше нет никаких других краевых задач. Известные результаты о скачках потенциала простого слоя тоже имеют очень естественную интерпретацию на стратифицированных множествах. Оказывается, что потенциал простого слоя является решением уравнения Пуассона на множестве составленном из трех стратов: области, ее внешности, и разделяющей их поверхности. При этом правая часть уравнения равна нулю на области и ее внешности, а на поверхности она равна плотности потенциала.
Кроме того, несмотря на то, что практически все полученные результаты на стратифицированных множествах являются аналогами каких-либо классических результатов, их получение, как правило, требует новых идей и под-

и иначе (лишь бы они попарно не пересекались), поскольку для симметризации это не важно, но для определенности удобно сделать именно так. Всюду на [0,1/], кроме точек стыка, определяем функцию й(х) по принципу соответствия, как и выше при определении функции й. Значения в точках стыка не играют никакой роли, но для определенности, мы в качестве значений возьмем любой.из односторонних пределов. Обычная симметризация Шварца функции й, построенная на том же отрезке, очевидным образом совпадает с симметризацией Шварца функции и на графе, определенной нами выше, т.е. с и* (потому как меры лебеговых множеств функций и и й совпадают при всех £). Хотя функция й, вообще говоря, разрывна, мы, в силу леммы 1.2.1, можем утверждать, что её симметризация Шварца принадлежит РСо[0,1/] при и € Сд(Го, <ЭГ0).
Таковое построение позволяет мгновенно перенести на случай графа целый ряд свойств, которыми обладает симметризация Шварца на числовой прямой. Грубо говоря, это те свойства, которые инвариантны относительно перехода от функции и к функции й. Например, сюда относятся многие интегральные равенства и неравенства, связывающие исходную функцию и её симметризацию. Одно из них будет использоваться в дальнейшем: