Управление процессом, описываемым телеграфным уравнением

• Автор: Смирнов, Илья Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с.

Содержание
Введение
Глава 1. Формулы типа Даламбера для колебаний, описываемых телеграфным уравнением, в случае системы, состоящей из двух участков разной плотности и разной упругости

1.1. Формула типа Даламбера для случая поперечных колебаний .

1.2. Формула типа Даламбера для случая продольных колебаний .

Глава 2. Смешанные задачи с граничным управлением

2.1. Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при закрепленном другом
2.2. Решение задачи в случае управления упругой силой на одном конце при свободном другом
2.3. Решение задачи в случае, когда управление упругими силами производится на обоих концах
2.4. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при закрепленном другом
2.5. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при свободном другом
2.6. Решение задачи в случае управления смещением на двух концах
2.7. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце и упругой силой на другом
Глава 3. Смешанные задачи для телеграфного уравнения, в случае системы, состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые импедан-сы

3.1. Решение задачи в случае одностороннего управления
3.2. Решение задачи в случае двухстороннего управления
3.3. Обобщенные решения смешанных задач для разрывного телеграфного уравнения при условии равенства импедансов
Глава 4. Задачи граничного управления для телеграфного уравнения, в случае системы состоящей из двух участков, имеющих разные плотности и разные упругости, но одинаковые
импедансы
4.1. О приведении из произвольно заданного состояния в состояние покоя системы, состоящей из двух разнородных участков, колебания которой описываются телеграфным уравнением

Введение
Актуальность работы Одномерное телеграфное уравнение является математической моделью большого числа физических процессов, имеющих первостепенное значение. Телеграфное уравнение описывает давление нефти или газа в трубопроводе, характеризует динамику силы тока при распространении электромагнитных волн в длинных линиях, свободные колебания геологической среды (пластовые давления и смещения).
Исследованию решений задач управления распределенными системами и их оптимизации посвящены работы многих математиков. Основной целью является изучение условий, при которых процесс колебаний распределенной системы под воздействием некоторого граничного локального или нелокального управления может быть переведен из одного состояния, заданного начальными смещениями и скоростями системы, в наперед заданное финальное.
В математическом плане такие задачи граничного управления формируются в терминах краевых задач для уравнения, описывающего процесс колебаний. Во многих работах доказывается существование промежутка времени, который, следуя литературе, мы будем называть критическим (Д). Для уравнений колебаний струны было показано, что если промежуток времени, за который проводится управление, не превосходит 71-, то задача граничного управления не имеет решения для произвольных начальных и финальных условий. При промежутках, строго больших Тк, существует бесконечно много решений
задачи граничного управления при любых начальных и финальных условиях.
Одним из первых задачу об управлении колебаниями в форме смешанных задач для волнового уравнения рассмотрел в цикле своих работ Ж,Л. Лионе (1988г.). В его работах изучалась задача успокоения с граничными условиями типа смещения. Им же в работе [1] была доказана неединственность решения

— д'(£ + х — 2к1)(Фх(х, 4) — Ф((®, 4))]с/жй£ =

[{/а,(Ж, ^ФД®, 0 - ^(Х, £)ФД®, £)]е£:Г£Й.

В работе [24] показано, что функция 1/(ж,£) является решением задачи
и+хл) - ихх(х+ = о в дт,
11 (ж, 0) = О при 0 ^ х ^ /,
/7г(ж, 0) = 0 при 0 ^ х ^ I,
и(О, I) = ц(1) при 0 ^ ^ Т,
и (,I, £) = 0 при 0 ^ ^ Т,
удовлетворяющим тождеству I т
[их(х,г)ФДж, £) - £/Дх,£)ФДж,£)]с£а:ег£ = О,

(36')
(37')
(38')
(39')
(40')

для произвольной функции Ф(ж.£) из класса С2(<3т), подчиненной условиям Ф(®, Т) = 0, Ффж, Т) = 0 при 0 < х ^ I, Ф(1, £) = О, Ф(0, £) = 0 при 0 ^ ^ Т. Таким образом, доказано, что функция (42) удовлетворяет тождеству (41). Тем самым теорема 2.4 полностью доказана.
2.5. Решение задачи в случае управления смещением на одном конце при свободном другом
Для любого Т > 0 рассмотрим следующую задачу V:
ии(х, £) - ихх(х, £) + с2и(х, £) = 0 в С}т-.
и(х, 0) = 0 при 0 ^ х ^ I,