Эллиптические уравнения на квазимодельных римановых многообразиях

• Автор: Лосев, Александр Георгиевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Волгоград
• Количество страниц: 188 с.

Содержание
0 Введение
1 Гармонические функции на элементарных квазимодель-
ных многообразиях
1.1 Вводные определения
1.2 Собственные функции и собственные значения
1.3 Лиувиллево свойство дня гармонических функций
1.4 Разрешимость задачи Дирихле для гармонических функций
1.5 Гармонические функции, предписанного роста
1.6 Гармонические функции на многообразиях с концами .
1.7 Примеры
1.8 Заключение
2 Весовое уравнение Шрёдингера на квазимодельных
многообразиях
2.1 Задача Дирихле и краевая задача для решений уравнения Шрёдингера
2.2 Определение типов скрещенных произведений
2.3 Решения уравнения Шрёдингера на квазимодельных
многообразиях

2.4 Гармонические и 1-гармонические функции на квазимо-
депьных многообразиях
2.5 Примеры
2.6 Заключение
3 Взаимосвязь теорем типа Лиувилля на некомпактных римановых многообразиях
3.1 1/°°-пиувиллево свойство и стохастическая полнота элементарных квазимодельных многообразий
3.2 Теоремы типа Лиувилля на прямых произведениях
3.3 Примеры
3.4 Заключение
4 Эллиптические уравнения на римановых многообразиях ” трубчатого” типа
4.1 1Ч-средние собственных чисел
4.2 Решения с ограничениями на рост интеграла Дирихле
4.3 Ограниченные решения
4.4 Заключение
5 Приложение

Глава О Введение
По своей проблематике, диссертационная работа выполнена на стыке нескольких разделов анализа: теории уравнений в частных производных, теории функций,теории потенциала на римановых многообразиях и геометрии ”в целом”. Основным объектом исследования является весовой (в частности, обычный) оператор Лапласа-Бельтрами и ассоциированный с ним оператор Шрёдингера на некомпактных римановых многообразиях. Рассматриваемый круг задач и используемые методы большей частью принадлежат теории уравнений в частных производных и теории функций.
Актуальность темы.
В исследованиях последних десятилетий была отмечена глубокая связь между классическими проблемами теории функций, теорией уравнений в частных производных эллиптического типа второго порядка, в частности уравнения Лапласа-Бельтрами и стационарного уравнения Шрёдингера, и геометрией римановых многообразий. Данная тематика нашла свое развитие в работах российских и зарубежных математикові Л. Альфорса, М. Андерсона, С.Н. Бернштейна, С.К. Водопьянова, A.A. Григорьяна, В.А. Зорича, В.А. Кондратьева, Е.М. Ландиса, П. Ли, О. Мартио, В.М. Миклюкова, Н.С. Надирашви-

где п = dimM, р(в) определитель матрицы метрического тензора в метрике <£62 на римановом многообразии S. Из вида метрики сразу следует, что
gU = 91’ = 9П = 0,9« = М_р«(9), ,,^1,
где ргЦ9) — элемент обратной матрицы метрического тензора на S. Обозначим
Ф(0) = й(0)/(0).
Подставляя полученные выражения в (1.6), получим
д = Л . д /Ф(9)8{г)дп-г)^р(в) д
Ф{6)Ь(г)дп~1{г)^р(в) дг V р(в) дг)
1_____________________ у д /Ф{в)6{г)дп 1{г)уЩв) .. д
Ф(в)6(г)дп~1(г)^р(в) i,j=2 двг V q2(r) ^ двЛ
= T)U5(r)q’~l{r)B+
+їт?мда) i£ а¥
Вычисляя производные по переменной г, получим

— "77Г7Л77Г1Т +
0'(Г)1 д
<5(г) дг

(п~ + ТТЛ ^Г+(1-8)
/2(0) Зг2 /2(0)

д« = ^,Е^(ф№^57)
— весовой оператор Лапласа-Бельтрами на 5.
Пример 1.2. Пусть риманово многообразие П — простое скрещенное произведение порядка к, т.е. изометрично прямому произведению