Некоторые непрерывные и итеративные методы решения некорректных задач

• Автор: Дунцева, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 107 с.

СОДЕРЖАНИЕ.
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. НЕПРЕРЫВНЫЕ АНАЛОГИ МЕТОДОВ КВАЗИОБРАЩЕНИЯ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА
§1. Непрерывный аналог метода квазиобращения Латтеса-
Лионса
§2. Непрерывный аналог метода квазиобращения Гаевского-
Захариаса
§3. Численное решение обратной задачи теплопроводности
ГЛАВА II. НЕПРЕРЫВНЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА
§1. Непрерывный аналог метода квазиобращения для
дифференциального уравнения второго порядка
§2. Новый МЕТОД квазиобращения и его непрерывный аналог
ГЛАВА III. НЕПРЕРЫВНЫЕ И ИТЕРАТИВНЫЕ МЕТОДЫ РЕГУЛЯРИЗАЦИИ ДЛЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРНЫХ УРАВНЕНИЙ
§1 Непрерывный метод второго порядка для решения
экстремальных задач в гильбертовом пространстве
§2. Непрерывная регуляризация первого порядка для одного класса нелинейных операторных уравнений в банаховом
пространстве
§3. Трёхшаговый метод итеративной регуляризации для решения нелинейных монотонных уравнений в банаховом пространстве
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА.

Введение
1. Рассмотрим операторное уравнение
Ах=/ х еX, ./с У, (I)
X и У - некоторые метрические пространства
Задача (1) называется корректной по Адамару, если выполнены следующие условия:
1) задача (1) имеет решение при всех Ё е У;
2) решение единственно;
3) решение непрерывно зависит от элемента / в метриках пространств X и У.
Задача, не удовлетворяющая хотя бы одному из этих требований, относится к классу некорректных. Ранее считали, что некорректные задачи не имеют реального физического смысла. Однако оказалось, что некорректными являются многие известные задачи, например, обратные. Как сказал академик М.М. Лаврентьев: "Корректно поставленные задачи - это далеко не единственные задачи, правильно отражающие физические явления." Необходимость решать некорректные задачи в настоящее время общепризнанна.
Начало созданию теории и методов решения некорректных задач положила работа А.Н. Тихонова [65] и сформулированная в ней
Теорема. Взаимнооднозначный непрерывный оператор, переводящий компакт метрического пространства в метрическое пространство, имеет непрерывный обратный.
Согласно этой теореме, надо уметь накладывать условия, которые определяли бы компакт Хс:Х для (1). Основной вклад в решение этой проблемы внес М.М. Лаврентьев [42,43]. В.К. Иванов, введя понятие квазирешения, т.е. элемента, минимизирующего невязку уравнения (1) на X/ ,
снял вопрос о необходимости устанавливать существование решения задачи (1) [35].
Следующий важный шаг в развитии методов решения некорректных задач был сделан А.Н. Тихоновым, который ввел понятие регуляризирую-щего алгоритма (РА).
Определение. Оператор Щсф называется регуляризирующим алгоритмом задачи (I), если он обладает следующими свойствами:
1) Щоф определен при У а >0 и V/ е У;
2) существует функция а=а(д) такая, что регуляризованное решение ха-11(а(8),0 ->х - решению задачи (1) при 5 А), ру(/, у) <5, ру- метрика в пространстве У.
А.Н. Тихоновым был предложен способ построения такого РА. Метод А.Н. Тихонова определяет регуляризованное решение ха как точку минимума сглаживающего функционала
Фх(х, /) - р/(Ах,/5) + а в(х),
где з(х)>() - некоторый стабилизирующий функционал.
Кроме указанного, отметим два вариационных метода решения некорректных задач: метод невязки и метод квазирешений, разработанные в екатеринбургской школе математиков под руководством В.К. Иванова [36]. Многообразие вариационных методов обусловлено тем, что при их построении используется различная априорная информация о задаче (1) и обширный арсенал средств решения задач оптимизации.
Практически все существующие методы решения некорректных задач сводятся к решению некоторой корректной задачи, которая дает приближение к решению исходной проблемы. Наиболее известными и подробно изученными являются операторные методы регуляризации, в которых решаются семейства корректных задач, зависящих от дискретного параметра а, называемого параметром регуляризации. Однако сведение не-

v"+i-vf 4a2
. 2 7tkh ;i JOan . 4 Mi r „ щ
sw Iyv. +(1- r)vt j- sin — [yv+ (1 - r >;+/ J,
яйг/j I

v"+I -Vй

откуда
4 . 2 nkht n n+J{
- = -sm ~yVv, +(]-r)vi a
4a , ,
—— МИ'

4т у Mi ' 1 + у — sin ~
vn+1

2 4a , ккИ
a ” sm~

4т . о nkh

2 nkh
—A sin

Следовательно, норма оператора шага с определяется соотношением 11 с 11= тахМ(т,к), где
М(т,к)
4т 2 nkh f у 4а 1 + у

п sin2

1-(1-у)
4т . 2 nkh

4а . , Мг sin

Достаточные условия устойчивости схемы (1.23) приводятся в теоремах 1.5-1.7.
Теорема ЦТ Если ап>а2И2/4, то
тах{М(т,к) | —— < к < N} < 1.
~ I ОС
Доказательство. Введем обозначение:
4т 2 nkh f

4 а 2 nkh
sin а

Условие устойчивости схемы (1.23) примет вид