Локальная разрешимость и регуляризация некоторых многомерных обратных задач для уравнений гиперболического типа

• Автор: Дементьева, Наталья Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 88 с.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 Локальная разрешимость и регуляризация обратной задачи для телеграфного уравнения в цилиндрической области
1.1 Постановка задачи. Теорема существования решения
1.2 Устойчивость решения
1.3 , Регуляризирующий алгоритм
2 Локальная разрешимость многомерной обратной задачи для уравнения гиперболического типа в дивергентном виде
2.1 Постановка задачи
2.2 Терема существования решения
,'* . » ’
3 Локальная разрешимость и регуляризация многомерной обратной задачи для некоторого класса нелинейных гиперболических уравнений
3.1 Постановка задачи 1. Теорема существования решения
3.2 Постановка задачи 2. Теорема существования решения
3.3 Устойчивость решения задачи
3.4 Регуляризирующий алгоритм решения задачи
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы и посвящена исследованию некоторых многомерных обратных динамических задач для гиперболических уравнений.
Цель работы состоит в доказательстве локальной разрешимости и получении оценок устойчивости решения рассматриваемых обратных задач, а также в построении регуля-ризирующих алгоритмов решения этих задач с приближенными данными.
Поскольку вопросы разрешимости многомерных обратных задач и численные методы их решения развиты к настоящему времени недостаточно полно, тема диссертации является актуальной.
Обратные задачи для гиперболических уравнений относятся к некорректным задачам математической физики. Общий подход к решению некорректных задач был сформулирован А.Н.Тихоновым и развит в работах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, В.К.Иванова, В.Г.Романова, В.Н.Страхова, В.Я.Арсенина, Ю.Е.Аниконова, С.П.Шишатского, А.Л.Бух-гейма, В.В.Васина, А.Д.Искендерова, А.И.Прилепко, В.П.Тананы, С.И.Кабанихина, В.Г.Яхно, В.А.Шарафутдинова, В.Г.Чередниченко, Н.Я.Безнощенко и других.
Некорректные задачи можно разделить на два основных типа. Задачи, которые являются некорректными в одних функциональных пространствах, но могут быть сделаны корректными при другом выборе пространств, называются слабо некорректными. Наряду с ними существуют задачи, которые не являются корректными ни в каких функциональных пространствах, норма которых использует конечное число производных. Такие задачи называются сильно некорректными. К ним принадлежат, в частности, многомерные обратные задачи для гиперболических уравнений.
По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений можно разделить на следующие основные группы: кинематические, спектральные и обратные задачи рассеяния, динамические обратные задачи.
В динамических обратных задачах для гиперболических уравнений в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи на некоторой времениподобной поверхности. Одним из методов исследования таких задач является метод операторных уравнений Вольтерра. Связь обратных задач с уравнениями Вольтер-

ра использовалась еще в самых ранних работах по теории обратных задач. В 1970г. на Международном конгрессе математиков в Ницце М.М.Лаврентьев сформулировал задачу исследования общих операторных уравнений Вольтерра в связи с изучением широкого класса обратных задач. Основная идея метода операторных уравнений Вольтерра в применении к обратным динамическим задачам для гиперболических уравнений заключается в следующем. Для многих гиперболических уравнений известны представления решений в виде интегральных уравнений вольтерровского типа. Используя эти представления, а также дополнительную информацию о решении прямой задачи, можно получить операторное уравнение Вольтерра (или систему уравнений) относительно искомых коэффициентов.
В случае одномерных обратных задач к полученной системе вольтерровских уравнений применим метод сжимающих отображений, что позволило доказать для многих таких задач теоремы локальной разрешимости в классах коэффициентов конечной гладкости (см., например, [13],[20],[21],[22]).
В случае же многомерных обратных задач теоремы локальной разрешимости удается доказать лишь в классах коэффициентов, обладающих конечной гладкостью по выводящей пространственной переменной и аналитических по остальным переменным. При этом используется теория абстрактной задачи Коши в шкалах банаховых пространств аналитических функций, разработанная Л.В.Овсянниковым [16],[17],[18], Дж.Ф.Тревом [32], Л.Ниренбергом [15], Т.Нисидой [31] и другими авторами. Такой подход к исследованию многомерных обратных задач изложен в работах А.Л.Бухгейма [1],[2] и В.Г.Романова [23],[24],[25]. В.Г.Романов модифицировал метод Л.Ниренберга [15] и применил модифицированный метод к доказательству локальных теорем существования и единственности решения некоторых многомерных обратных динамических задач для гиперболических уравнений [23], [24], [25]. Эти идеи применительно к другим многомерным обратным задачам получили дальнейшее развитие в работах В.Г.Романова и Т.П.Пухначевой [27], [28], [29], В.С.Корнилова [9], В.Г.Романова и Н.В.Дементьевой [26], Н.В.Дементьевой [4], [5].
В полученных этими авторами теоремах существования требуется, чтобы граничные данные являлись функциями, аналитическими по части переменных, то есть задавались в том же классе гладкости, в котором ищется решение обратной задачи. Однако в реальных ситуациях граничные данные измеряются с некоторой ошибкой. Возникает проблема построения регуляризирующего алгоритма решения исходной обратной задачи с прибли-

+ 2() (1 + (<з(ж,г))2) 1(>14(ж,)ехр(2<ръ(х,я)). (2.35)
()(п
Осталось вывести уравнение для <р3 — Для этого выразим вначале -г— из соот-

ношения (2.11):

Ух ÛQi . Уххл/я.Г

24/g7v/l + yl dx [l+ylf!2 А теперь найдём ÿne = (U из равенства (2.12):
2?i-
<р1в{х, z) = i5(æ, z) - (у>з(ж, z))2(l + (<р3(х, z))2)-Vis(®, «)-
- 2<рз(х, z)ip13(x, z)(tpT(x, z))2(l + ( - 2(p3(x,z)ipu(x,z)ip7(x,z){l + (<3(ж, z))2)-1/2.
Систему равенств (2.21)—(2.36) запишем в операторном виде. При i = 1,6,9,10,11,13,14 имеем
Vi = Ti{(p), 4> = (я> 1
Рассмотрим отдельно уравнения для <#, г = 7,8,12,15,16. Назовем их условно уравнениями с внеинтегральными членами, так как в правые части этих уравнений входят компоненты <р не под знаком интеграла. Перед началом последовательных приближений перепишем уравнения с внеинтегральными членами. Воспользуемся операторной записью ipi — T,(tp) для тех компонент ip, которые входят в правые части этих уравнений и не стоят под знаком интеграла. Имеем
Ч>7 = Т7{ч>) = - -, 1 -:= ехр(Г6(у>)), '
9{х) y/i + (Гз(у))2
<р8 = Т8(<р) - - Tr( <Ри = Т12{<р) = -2T,(V)pi(v>)rn(v9) + 7 (æ,z)-

~ J{tâvixx + + <р12(р.9 + ip16tpix)(x, £, 2z - £)<Д],
,/(x,0) d (f(x,0)„ t /ГГ/'Л,2
V» = TM = 2-- (1 + (ГзЫ)2)-1ехР(2Т6Ы)-
- 2 ет адЗДХ! + (Тз(,)2)-2 ехр(2ЗД)+
+ 2 (i + (T&m-'TM ехР(2ад),
р1в = ГиН = Г„и - №М)2(1 + (ГзМ)2)-1)-
- 2ТзМТ13Ы(Т7()2(1 + (ТзМ)2)"2-
- 2ТзИГ12(9)Зг,7()(1 + (ГзЫ)2)"1/2.