Краевые задачи для системы Дуглиса-Ниренберга в областях с кусочно гладкой границей

• Автор: Магомедова, Вазипат Гусеновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 100 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. О нетеровости краевых задач для эллиптических по Дуглису — Ниренбергу систем
§ 1. Весовые пространства Соболева и Гельдера
§ 2. Некоторые вспомогательные сведения
§ 3. Понятие эллиптичности по Дуглису - Ниренбергу.
Постановка краевых задач
§ 4. Об одной априорной оценке. Полунетеровость
задачи
§5.0 нетеровости задачи. Некоторые свойства решений . 47 ГЛАВА II.Индекса формулы для краевых задач
§ 1. К - линейные задачи
§ 2. Индекса формула для К - линейной задачи.
Случай к = — 1 . '
§ 3. Индекса формула для К - линейной задачи.
Случай к = Ьо + со, од
§ 4. Индекса формула для правильно эллиптических задач 71 ГЛАВА III. Некоторые приложения
§ 1. Краевые задачи для системы Стокса
§2. Краевая задача с условием прилипания на границе
§ 3. Краевая задача со свободной границей
§ 4. Смешанная краевая задача
§ 5. Нахождение концевых символов краевых задач
для системы Стокса
Литература
ВВЕДЕНИЕ
В последние два десятилетия построена общая теория эллиптических краевых задач в областях, границы которых содержат особенности - углы, конические точки, ребра и т. п. Нарушение условия гладкости границы приводит к появлению у решения особенностей в окрестностях нерегулярных точек границы. К изучению краевых задач для уравнения в частных производных в областях с нерегулярными точками на границе приводят многие важные прикладные задачи. Эта теория имеет широкие и важные приложения в механике сплошных сред, в различных разделах асимптотической теории дифференциальных уравнений с частными производными, в теории приближенных методов. Этим вопросам посвящена общирная литература [8, 10, 14].
Как всегда в современной теории краевых задач, для правильной постановки задачи в области с негладкой границей необходимо подобрать подходящие функциональные пространства, в которых рассматриваются решения задачи и правые части уравнения и граничных условий. Во многих таких задачах удобно использовать функциональные протранства с весовой нормой, где вес - некоторая степень расстояния до множества нерегулярных точек границы. Такие пространства функций в этих задачах правильно описывают особенности решения и его производных в окрестности нерегуляр-
ных точек границы.
Среди многочисленных подходов к исследованию краевых задач в областях с негладкой границей можно выделить два основных. Одним их них является сведение краевой задачи к решению интегральных уравнений.
Изучение эллиптических задач в областях с угловыми точками берет начало в классической работе Радона [22]. Он применил метод решения уравнений с частными производными, основанный на сведении краевой задачи к интегральным уравнениям на границе области, в случае плоской области с угловыми точками на ее границе для задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа. В дальнейшем метод Радона нашел широкое применение в краевых задачах теории функций плоской теории упругости, общей теории эллиптических задач. Широкий класс краевых задач в областях с кусочно гладкой границей для аналитических функций тесно связан с сингулярными интегральными уравнениями и в комбинации с конформными отображениями допускает прямое эффективное исследование [3], [4], [19]. С помощью представления общего решения уравнения через аналитические функции этот метод нашел многочисленные приложения. Существенное затруднение, которое вносит здесь наличие угловых точек границы, состоит в том, что в указанном представлении помимо самой аналитической функции фигурируют и ее производные.
Одной из первых работ, посвященных краевым задачам для эллиптических систем в двумерной области с угловой точкой была работа Я. Б. Лопатинского [16]. В его работе рассматриваются краевые задачи с постоянными коэффициентами. Применяя метод сведения краевой задачи к интегральному уравнению на границе, он получил условия нормальной разрешимости такой краевой задачи
где = 4г?(х,@) = {ау(ж, 3))} - квадратная матрица порядка С, элементы которой линейные дифференциальные выражения. Коэффициенты ау (ж, 3) (как дифференциального выражения) непрерывные В <2 функции.
Матрице Л?(х, &>) поставим в соответствие матрицу _2?(ж,£) = (ду(ж,£)} с полиномиальными по ф. и (£1,&) = £ элементами. Говорят) что система (3.1)эллиптическая по Дуглису - Ниренбергу в области (2, если найдутся целые числа в; и 1,, I = 1
1) Сумма М = Хл=1(*> + 0 (&Ля всеж х £()) равна степени полинома £(ж, £) = det 2г?(ж,£), и»-е. Л= ог(1£. И М = 2м' — четное число.
2) Сумма не меньше степени ду (ж, £), причем если <
0 считаем, что ду = 0.
3) Пусть Л?о(х,£) - главная часть _5?(ж,£), каждый элемент которой есть главная однородная часть ау(ж,£), состоящая из слагаемых степени s + 1,-. Тогда
ве! ?о(ж,5) 0 (Уже<2, £е®2). (3.2)
(Условие ЭЛЛИПТИЧНОСТИ.)
4) Все корни полинома Р(А) = Ае1У?о(х,£), £ = (—А, 1), ж 6 <3, С с учетом кратностей) расположены поровну в верхней 1т А > 0 и нижней 1т А < 0 полуплоскостях. (Правильная эллиптичность.)
В случае системы с действительными коэффициентами условие
и предположение о четности М из 1) лишние. Они являются следствиями условия эллиптичности (3.2).
Набор чисел вг,и, участвующий в определении эллиптичности, определен неоднозначно. Каждый такой набор можно заменить