Краевые задачи для обобщенных дифференциальных уравнений переноса

• Автор: Нахушева, Виктория Адамовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Нальчик
• Количество страниц: 58 с.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение
Глава 1. О некоторых дифференциальных уравнениях состояния и церено-
са дробного порядка
§ 1.1 О дифференциальных уравнениях состояния дробного порядка в
сплошных средах с памятью
§ 1.2 Об одном интегральном представлении всех решений уравнения
Барретта
§1.3 О модельных уравнениях переноса в средах с памятью
§ 1.4 Уравнение неразрывности в средах с фрактальной геометрией и
обобщенное уравнение переноса дробного порядка
§ 1.5 Об эквивалентности уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка
Глава 2. Краевые задачи для уравнения Бицадзе-Лыкова, уравнений переноса дробного порядка и модельного уравнения смешанного ги-перболо-параболического типа
- § 2.1 Об одной задаче А.В. Льшова и конструктивной формуле ее решения
§ 2.2 Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения
§ 2.3 Принцип экстремума для нелокального уравнения эллиптического
типа
§ 2.4 Видоизмененная задачи Коши и Дирихле для уравнения Барретта
§ 2.5 Смешанная задача для однородного и неоднородного нелокального волнового уравнения
§ 2.6 Априорная оценка для многомерного оператора диффузии дробного порядка
§ 2.7 Смешанные краевые задачи для гиперболо-параболического уравнения
Литература

Введение
Работа, состоящая из настоящего введения двух глав посвящена начальным и смешанным краевым задачам для основных типов дифференциальных уравнений состояния и переноса дробного порядка, их структурным и качественным свойствам.
Необходимость проведения фундаментальных исследований по теме диссертационной работы стала очевидной после того как выяснилось, что многие физические процессы (диффузия в средах с фрактальной геометрией и памятью, субдиффузия частиц) приводят к начальным краевым и смешанным задачам для нелокальных дифференциальных уравнений в частных производных дробного порядка. Более того, эти уравнения относятся к классу нагруженных дифференциальных уравнений, которые, как правило, не являются самосопряженными.
Тема дисссертации входит в план научно-исследовательских работ НИИ прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН по научному направлению ’’Исследование структурных и качественных свойств решений локальных и нелокальных краевых задач для широких классов уравнений и систем основных типов и их приложения”, (№ГР 01.950004494 код 1.1.11.(1.1.11.1, 1.1.11.3)).
Основной целью настоящей работы является исследование структурных и качественных свойств модельных, но основных типов, нелокальных дифференциальных уравнений дробного порядка.
Для достижения основной цели используются метод интегральных представлений, свойства функции Миттаг-Леффлера, принцип экстремума для оператора дробного дифференцирования, метод Фурье и метод априорных оценок.
В диссертации впервые:
1. выделен качественно новый класс нелокальных дифференциальных уравнений состояния дробного порядка и на их основе получено нелокальное волновое уравнение с дробной производной по времени;
2. дано интегральное представление всех решений уравнения Барретта, позволяющего в явном виде выписать решение видоизмененной задачи Коши для этого уравнения;

3. доказана эквивалентность уравнений субдиффузии и диффузии дробного порядка;
4. дана конструктивная формула решения уточненной задачи A.B. Лыкова для уравнения Бицадзе-Лыкова;
5. доказан принцип экстремума для линейного нелокального уравнения параболического и эллиптического типов;
6. для уравнения Барретта решены видоизмененные задачи Коши и Дирихле;
7. доказаны теоремы единственности и существования решения смешанных задач для нелокального волнового уравнения и уравнения гиперболо-параболического типа!
Работа являетяся теоретической, ее результаты могут сыграть определенную роль в построении теории краевых задач для линейных уравнений в частных производных дробного порядка.
В отчете о деятельности Российской академии наук в 1996 г. (см. с. 25) как важнейший результат отмечено исследование качественно нового класса дифференциальных уравнений состояния и переноса в системах с памятью.
Нет сомнений, что полученные теоретические результаты получат хорошую физическую интерпретацию.
Результаты работы, по мере их получения, докладывались на семинаре по современному анализу, информатике и физике НИИ ПМА КБНЦ РАН (1994-1998 гг.), на международной конференции ’’Нелокальные краевые задачи и родственные проблемы математической биологии, информатики и физики”, посвященной 60-летию академика АМАН Нахушева А.М., Нальчик, 1996.
В диссертацию вошли результаты, полученные мною как одной из исполнителей проекта №94-01-00605, получившего грант Российского фонда фундаментальных исследований. Эти результаты изложены в §§ 1.1 и 1.3.
Список работ, включающий и публикации в годовых отчетах НИИ ПМА КБНЦ РАН, содержит 8 названий: [25] - [32].
Из них работа [27] выполнена в соавторстве с А.М. Нахушевым, которому принадлежит постановка задачи и метод получения уравнения состояния для сплошных сред с памятью.
Диссертация состоит из настоящего введения, двух глав и списка литературы, содержащего 32 наименований. В первой главе пять параграфов:
1.5, а во второй - семь: 2.1 - 2.7.
Первая глава посвящена некоторым классам дифференциальных уравнений состояний и переноса дробного порядка.
Главный результат § 1.1 - вывод двух дифференциальных состояний в частных производных первого порядка с дробной производной по времени,

§2.2 Принцип экстремума для нелокального параболического уравнения.
В области П = {я : 0<х<1, 0<у<Т} евклидовой плоскости точек z=(x,y) рассмотрим уравнение
ихх + a(z)ux + b(z)D%yu + c(z)u — /(я), (2.2.1)
где a(z), b(z) ,c(z) и /(я) - заданные действительные, непрерывные в замыкании П функции, D“y - оператор дробного дифференцирования порядка а е ] 0, 1 [.
Предполагается, что для всех я G П0 = {z : 0 <х <1, 0 <у <Т}
b(z) < 0, b(z) + c(z)yaГ(1 - а) < 0. (2.2.2)
Обобщенное уравнение переноса дробного порядка является частным случаем уравнения (2.2.1).
Решение д(я) = и(х,у) уравнения (2.2.1) назовем регулярным в области П, если оно непрерывно в П0 вместе с производными их, Du и обладает следующим свойством: для любого х G ] 0, I [ существуют положительные величины k=k(x) uh> а такие, что
и(х,у) — u(x,t) < k(y— t)h V y>t> 0. (2.2.3)
Справедлив следующий
Принцип экстремума. Регулярное в области С1 решение u(z) уравнения (2.2.1) ни в какой точке £ = (£; rf) G По не может принимать своего наибольшего в П положительного (наименьшего отрицательного) значения, если в этой точке
№> о (ЯС)< о).
Доказательство проведём методом от противного.
Допустим, что
supw(z) = u(Q >0, С £ П0. (2.2.4)
Если и(() = +оо, справедливость принципа максимума очевидна, ибо в каждой точке z € П0 функция u(z) принимает конечное значение.
Предположим, теперь, что и(() конечно.
Так как /(£) > 0, то из (2.2.1) имеем
4i + <04 + Ь(С)£>о> + с(С)и > 0. (2.2.5)