О показателях Ляпунова линейных гамильтоновых систем

• Автор: Салова, Татьяна Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2015
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с.

Оглавление
Введение

Актуальность темы исследования

Основные результаты диссертации

Формулировки основных результатов

Используемые обозначения

1 Одновременная достижимость центральных показателей маломерных линейных гамильтоновых систем

1.1 Основные понятия и факты

1.2 Вспомогательные утверждения

1.3 Одновременная достижимость центральных показателей двумерных и четырехмерных систем

2 Условная стабилизируемость и дестабилизируемость линейных гамильтоновых систем

2.1 Определения условной стабилизируемости и дестабилизируемое
2.2 Одновременная условная стабилизируемость и дестабилизируемость бесконечно малыми возмущениями .
2.3 Одновременная условная экспоненциальная стабилизируемость и дестабилизируемость равномерно малыми возмущениями
3 Об эффективности возмущений в классе линейных гамильтоновых систем
3.1 Спектры показателей
3.2 Эффективность гамильтоновых возмущений
Список литературы

Введение
Представленная работа является исследованием в области качественной теории дифференциальных уравнений.
Особое место в качественной теории дифференциальных уравнений занимают линейные системы, которые служат базой для изучения нелинейных систем по их линейному приближению. Линейные нестационарные системы имеют многочисленные приложения, которые порождают ряд новых задач теоретического характера, требующих изучения асимптотических свойств решений системы.
Актуальность темы исследования
Одним из главных направлений качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений является изучение характеристических показателей, которые были введены А.М. Ляпуновым [31] в связи с исследованием устойчивости по первому приближению, а также введенных позже показателей Перрона, Боля, Винограда, Миллионщикова и Изобова, отвечающих за разнообразные асимптотические свойства решений систем дифференциальных уравнений.
Изучением различных свойств перечисленых показателей решений и систем дифференциальных уравнений занимались многие математики. Приведем далеко не полный список тех из них, кто внес значительный вклад в эту теорию: Р.Э. Виноград [16, 17], Б.Ф. Бы-лов [7, 9], В.М. Миллионщиков [34, 35, 36], H.A. Изобов [23, 25, 26], М.И. Рахимбердиев [43, 44], И.Н. Сергеев [53, 59], В.В. Веременюк [11, 12], Е.К. Макаров [32, 33], С.Н. Попова [41, 42], Е.А. Барабанов [2, 3], О.И. Морозов [37, 38], A.C. Фурсов [66, 67], А.Н. Ветохин [14, 15], В.В. Быков [4, 5], Ю.И. Дементьев [19, 20] и другие. Здесь указаны лишь по 2-3 работы каждого автора, а исчерпывающую (на

соответствующий момент) библиографию по этим вопросам можно найти в обзорах [24. 27] и монографиях [6, 28].
Каждая система из т линейных однородных дифференциальных уравнений первого порядка (т. е. с т-мерным фазовым пространством) имеет ровно т показателей Ляпунова [6, 21], занумерованных в порядке нестрогого возрастания. Если старший (т-й) показатель Ляпунова отрицателен, то нулевое решение системы асимптотически устойчиво, а если положителен — то неустойчиво. Аналогично, г-й показатель характеризует условную устойчивость относительно г-мерного подпространства.
Из результатов работы О. Перрона [70] известно, что старший показатель Ляпунова, рассматриваемый как функционал на пространстве т-мерных систем с равномерной на положительной полуоси нормой, имеет точки разрыва. Вследствие этого, в теории характеристических показателей получило развитие целое направление, состоящее в исследовании устойчивости показателей Ляпунова при малых возмущениях коэффициентов системы.
Р.Э. Виноград ввел верхний и нижний центральные показатели [17], ограничивающие соответственно сверху и снизу подвижность показателей Ляпунова под действием равномерно малых возмущений системы. В.М. Миллионщиков с помощью разработанного им метода поворотов установил [34], что эти границы подвижности являются точными, т. е. они достижимы при сколь угодно малых возмущениях. Для каждого г = 1,,т точные нижняя и верхняя границы подвижности г-го показателя Ляпунова называются соответственно минимальным и максимальным г-ми показателями. Из упомянутых работ Р.Э. Винограда и В.М. Миллионщикова следует, что минимальный младший показатель совпадает с нижним центральным, а максимальный старший — с верхним центральным показателями системы.
Минимальные и максимальные показатели отвечают за стаби-лизируемостъ и дестабилизируемость системы. С одной стороны, если минимальный старший показатель системы неположителен, то она стабилизируема равномерно малыми возмущениями (т. е. в сколь угодно малой ее окрестности существует устойчивая система), а если положителен — не стабилизируема. С другой стороны, если макси-

= (жДО), §) cos ф cos в + {Jx( 0), Jgi) sin ф sin 9+
+(Тж'ДО), pi) sin ф cos 0 + (жДО), Jgi) cos ф sin в ~
= (жДО), pi) cos ф cos 9 -f- (x[(0),gi) sin ф sin
— (ж'ДО), Jgi) sin'0 cos 0 + (ж'ДО), Jgi) cos^sin# =
= cos(ф — 9) cosp + (жДО), Jgi) sin(6l — ф).
Покажем, что
(ж'х(0), Jgi) = 0.
Представим
жДО) = §i cos ip + h, где h G L±(gi, Jgi). Тогда справедлива цепочка равенств
Oi(0), Jgi) = (pi cosp + h, Jgi) = (pi, Jgi) cos p + {h, Jgi) = 0.
Так как ip G [0, |], to cos

0. Следовательно,
cos /.(и, i/) = cos(ф — 9) cosp ^ cos (p, ф, 9 G [0,2л),
а значит Z(u,v) ^ в) Пусть д2 G Р(0) и д2 ± gi, |р2| = 1. Обозначим G2 = £(р2, ^Рг)-Докажем, что
/(Я(0),Сх) = /(М(0),С2). (1.21)
Вспомним, что М{0) = Ях(0), и заметим, что G2 = Gj1. Обозначим
7 = Z(M(0), G2), 7б[0,|].
Тогда найдутся такие векторы дт G М(0), |pm| = 1, р2 G G2, |р2| = 1, что 7 = Z(pm,p2).
Выберем в пространстве R4 ортонормированный базис х, Jx 1, дт, Jgm, где ац = ж((0) = жДО). Выше доказано, что
/(х'ДО),^) = /(Я(0), Gi) = Дх[(0),д) = tp,
где pi G Gi, IpxI = 1. Тогда (pi,xi) = cosp и векторы х, и ЯЯ(0)р1 коллинеарны. Следовательно, для некоторых ci, с2 G Ж справедливо представление
pi = ац cos tp + cigm + с2 Jpm, cos2 p + с2 + c = 1 ■