Конструкции негладкого и многозначного анализа в задачах динамической оптимизации и теории уравнений Гамильтона-Якоби

• Автор: Лахтин, Алексей Станиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 109 с.

Оглавление
Введение
1 Многозначные решения уравнений Гамильтона-Якоби
1.1 Постановка задачи
1.2 Характеристическое дифференциальное включение
1.3 Многозначные эпи-решения, гипо-решения и их свойства
1.4 Теорема существования М-решений
1.5 Эквивалентное определение М-решения
1.6 Примеры
2 М-решения разрывных уравнений Гамильтона-Якоби
2.1 Некоторые понятия и результаты негладкого анализа
2.2 Задача Коши для разрывного уравнения Гамильтона-
Якоби
2.3 Свойства М-решений разрывного уравнения
2.4 Применение М-решений в задачах управления
2.5 Итерационная процедура построения М-решений
3 Алгоритм построения кусочно-линейной сопряженной функции
3.1 Постановка задачи
3.2 Предварительное описание метода решения
3.3 Решение на конкретном итерационном шаге
3.4 Заключительный этап алгоритма
3.5 Основные шаги алгоритма
3.6 Сложность реализации алгоритма

ОГЛАВЛЕНИЕ

4 Задача оптимизации хаусдорфова расстояния между двумя выпуклыми многогранниками
4.1 Постановка задачи
4.2 Субградиенты и субдифференциалы
4.3 Аналитический метод
4.4 Простой субградиентный метод
4.5 Метод с прогнозированием результата
4.6 Многошаговый метод
Литература

Введение
Диссертация посвящена изучению свойств обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби и разработке вычислительных методов, для задач, возникающих в теории управления и дифференциальных играх. Исследования проводятся в рамках теории минимаксных решений, которая была создана А. И. Субботиных! и продолжает развиваться в научной школе Н. Н. Красовского по оптимальному управлению.
Развитие теории обобщенных решений тесно связано с такими направлениями, как дифференциальные игры, оптимальное управление, негладкий и многозначный анализ.
Теория дифференциальных игр активно развивается с начала 60-х годов. Это развитие связано с именами отечественных и зарубежных математиков Н. Н. Красовского, Л. С. Понтрягина, Е. Ф. Мищенко,
А. И. Субботина, Б. Н. Пшеничного, А. Б. Куржанского, Ю. С. Осипова, Р. Айзекса, В. Флеминга и других.
Кратко перечислим основные результаты, к которым примыкает диссертационная работа.
Н. Н. Красовским и его сотрудниками была создана концепция позиционных дифференциальных игр [27, 28, 30, 32, 75] и исследовано основополагающее понятие стабильности. В основе этой теории лежит принцип экстремального прицеливания на стабильные мосты. Для широкого круга дифференциальных игр доказана теорема об альтернативе [31, 32,121]. Эта теория объединилав себе подходы, направленные на решение целого ряда проблем, включающих в себя как вопросы существования, так и проблемы вычисления решений в дифференциальных играх. Так для решения регулярных задач теории позиционных дифференциальных игр были разработаны методы детерминированных и стохастических программных конструкций [24, 33, 34, 75, 87]

Глаза 1. Многозначные решения

задачи (1.1) - (1.2). Тогда для минимаксного решения w и М-решения W имеем соотношение gr«’ С W. Если ы > v для любого верхнего решения и и любого нижнего решения v, то, как известно, минимаксное решение w единственно, и в этом случае gr w = W.
С другой стороны, пусть М-решение задачи (1.1), (1-2) совпадает с графиком некоторой непрерывной функции w, т.е. W = giw. Тогда w — минимаксное решение рассматриваемой задачи.
Неравенство u > v, а также единственность и существование непрерывных минимаксных решений имеют место при определенных предположениях относительно гамильтониана Н и краевого условия (1.2) (см., например, [65, 66, 111, 114, 130]). Важно отметить, что данной работе рассматриваются задачи, в которых упомянутые предположения могут нарушаться. Возможны случаи, когда либо минимаксное решение не существует, но существует М-решение, либо grn> ф W, где w — некоторое минимаксное решение, a W — М-решение, например, когда минимаксное решение не единственно.
Определение 1.7 содержит требование максимальности М-решения, множества I/* и используемые в определении 1.6 тоже в некотором смысле максимальны. Напомним, что операция объединения любой совокупности слабо инвариантных множеств и операция замыкания сохраняют слабую инвариантность. Поэтому
Здесь У — М-решение в смысле определения 1.7, Z — совокупность замкнутых слабо инвариантных множеств Z С (0, Т) х Rn х Д, удовлетворяющих краевому условию Z(T) = {(л, z) : (Т, х, г)е2} = gr a.
Однако определение М-решений равенствами вида (1.17) или (1.38) неконструктивны. Вместе с тем в теории дифференциальных игр и теории слабо инвариантных множеств (Viability theory) известны конструктивные методы и вычислительные алгоритмы для решения аналогичных проблем, т.е. для построения максимальных стабильных мостов и максимальных множеств, обладающих свойством слабой инвариантности (выживаемости) (см., например, [32, 102, 76, 83, 89]).
(1.38)