Единственность решения обратных задач теории объемного потенциала для уравнения Гельмгольца

• Автор: Баскакова, Ольга Борисовна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 92 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава I. О единственности решения некоторых внешних обратных задач теории потенциала (к > 0)
§ 1. Некоторые интегральные представления функционалов. Вспомогательные сведения
§2. О единственности решения задачи определения
плотности вещества по известному внешнему потенциалу
§3. Внешние обратные задачи теории потенциала для
тел с общей контактной поверхностью
Глава II. Единственность решения обратной задачи
акустического потенциала для тела, близкого к данному,
в случае уравнения Гельмгольца (£>0)
§4. Постановка задачи. Формулировка основной теоремы
§5. Вывод интегро-дифференциального уравнения
§6. О разложении потенциала в интегро-степенной ряд
§7. Исследование оператора Ф(£). Вспомогательные результаты . 69 §8. Исследование оператора ’?(£). Вспомогательные результаты
§9. Решение интегро-дифференциального уравнения
Литература

Основные определения и обозначения
Я" - п- мерное евклидово пространство. О, О - области;
V (х, О, р(х)) - объемный потенциал тела; Р (х, Б, (х)) - потенциал простого слоя;
-1кх-у
К(х,у)
4кх - у) вещественным к > 0:
- фундаментальное решение уравнения Гельмгольца с AU(x) + k2U(x) = 0, п
U(r)

- условия Зоммерфельда поведения на бесконечности.
Определение. Функция f (х) е С’Х если производные функции /-го порядка в D непрерывны и удовлетворяют условию Гёльдера с показателем X е (0, 1).
Определение. Пусть f (х) определена и непрерывна в D. Говорят, что f (х) удовлетворяет условию Гёльдера с показателем X е (0, 1) в D, если выполнено неравенство
If О) - f (у)1 const |у - х| X, у g D R2 - пространство функций £(х) е С(1,х определенных на поверхности S, таких что С(х) = Tl) с введенной нормой || С ||, равной наибольшему из чисел
{шах|С(х)|; max|Cfj(x)j; inax£n(x)|; sup X е (0, 1).
|?n()-cnwl Ь«-с4о>)|,
—— ; sup
x~y

ВВЕДЕНИЕ
Обратными задачами излучения волн объемными источниками называют задачи отыскания неизвестного излучающего источника по заданной о нем информации в дальней зоне. Целый ряд таких объектов описывается с помощью уравнения Гельмгольца, что приводит к постановке внешних обратных задач для данного дифференциального уравнения. Решить такие задачи - это значит определить форму излучающего тела или тел, их взаимное расположение, плотность по внешнему акустическому потенциалу. Исследование вопроса существования, единственности, устойчивости решений внешних обратных задач довольно сложны. Возникающие здесь трудности связаны с их некорректностью и нелинейностью.
Многие теоремы, относящиеся к вопросу существования решений, имеют лишь локальный характер и требуют введения ряда дополнительных условий. Например, для внешней обратной задачи вопрос существования решения даже для тела, близкого к данному, в случае акустического потенциала, до сих пор остается нерешенным. Актуальность изучения таких задач связана с их прикладным характером и состоит в необходимости разработки математических методов решения связанных с обработкой и интерпретацией наблюдений.
Основополагающими в этом направлении исследования являются работы А. Н. Тихонова [50,5 4], П. С. Новикова [33], Л.Н. Сретенен-ского [Щ, И. М. Рапопорта %Ч, В. К. Иванова [33,16], А. И. Прилепко
[ ъч, зма ]-
Данная диссертация посвящена изучению вопроса единственности решения внешних обратных задач теории акустического потенциала в
случае уравнения Гельмгольца с вещественным параметром к> 0 в Я3 для тела О (и = 3).
Для уравнения Гельмгольца (к2> 0) внешние обраэтше задачи теории акустического потенциала рассматривались вариационным методом в работах Алексеева Г.В., Чеботарева АЛО [,5* ]. Ниже рассмотрены математические постановки задач, следуя работам Прилепко А. И. для уравнения Д 1/(х) - %2 1/(х) = 0 [33/ 40, 4{ 2].
Материал разбит на девять параграфов, размещенных в двух главах. Причем основные результаты сосредоточены в §§2, 3 главы I и § 4 главы II.
Первый параграф главы I содержит формулировки и доказательства лемм, используемых при решении задач §§2, 3 главы I. В этом разделе установлены некоторые интегральные соотношения функционалов, являющихся базовыми при решении обратных задач, например, об
определении плотности заданного из евклидова пространства Я3 тела

3) У(х) = У(х, £2 , р) - потенциал, создаваемый телом £2, с плотностью р(х), такой что
р (х) е С(2,х)(/)}; Ае(0, 1), ц (дг) 0 /хед£2;
У(х) = {1(у)К(х, у)с1у, хей3;
ЭУ(х) , д |х|
I к У(х) = о (—
Заметим, что предельные значения извне на поверхности 5 для

дм ’

принадлежат при условии, что 5еС(2,Ч
Объемным потенциалом тела £2 в случае уравнения Гельмгольца при к> 0 называется функция
-1*Т „
Г(х)=|р(у)- ду,
й Гху
(1 (х) е С* (□) - плотность, к - действительное число. Вне тела £2 функция У(х) - решение уравнения Гельмгольца

(?и
2 -.2
(7*| 02 <7*3
а внутри тела О — решение уравнения Ь(и) = -4тс р (х) {п = 3).
Рассмотрим конечное односвязное тело О, ограниченное поверхностью ЗеС(2,Ч Это односвязная область из К3. Пусть внешний потенциал Г(х) с р(х) = 1 для тела £2 извесген. Пусть в области, внешней относительно тела £2 с границей 5, определена функция Н(х), которая на бесконечности ведет себя как акустический потенциал, то есть выполнены условия Зоммерфельда. Дополнительно предполагаем, что
н -ц.
д Н эИ| д2 И д2У
дм дм I (5V2 д2
< со с;
гдес = с(£2); 0 <со<с/; со = со (£2, К, У, е0].