Границы устойчивости в некоторых классах монодромных ростков

• Автор: Воронин, Алексей Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Содержание
Введение
1 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ОДНОГО РЕБРА
1.1 Асимптотика преобразования монодромии
1.2 Граница устойчивости
2 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ДВУХ РЕБЕР ПРИ ОТСУТСТВИИ
РЕЗОНАНСА
2.1 Раздутие особенности
2.2 Отображение соответствия в окрестности седла
2.3 Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих рёбрам
2.4 Отображение соответствия в первом квадранте
2.5 Асимптотика преобразования монодромии
2.6 Случай то нечётно
2.7 Асимптотика преобразования монодромии в случае то нечетно
2.8 Доказательство предложения
2.9 О различении устойчивого и неустойчивого фокуса
3 ГЛАВА. СЛУЧАЙ ДВУХ РЕБЕР ПРИ НАЛИЧИИ РЕЗОНАНСА
3.1 Раздутие особенности
3.2 Отображение соответствия в прямоугольниках, соответствующих рёбрам
3.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем вершине
3.4 Отображение соответствия в первом квадранте
3.5 Случай б >
3.6 Преобразование монодромии в случае б >
3.7 Преобразование монодромии в случае
3.8 Доказательство предложения

3.9 О различении устойчивого и неустойчивого фокуса
4 ГЛАВА. ВЫРОЖДЕННЫЙ СЛУЧАЙ
4.1 Раздутие особенности в случае двух ребер
4.2 Отображение соответствия в окрестности вырожденного седла
4.3 Отображение соответствия в прямоугольнике, соответствующем ребру
4.4 Отображение соответствия для правой полуплоскости
5 Добавление: интеграл Адамара
Библиография

ВВЕДЕНИЕ
1. Результаты. В работе построены два члена асимптотики преобразования монодромии монодромной особой точки аналитического векторного поля на плоскости в случаях, когда диаграмма Ньютона векторного поля состоит из одного или двух рёбер. Исследуется граница устойчивости в некотором классе векторных полей, имеющих монодромную особую точку. Доказано, что замыкание границы устойчивости может иметь пересечение с границей монодромного класса. Этот результат является некоторым продвижением в задаче аналитической разрешимости проблемы устойчивости особых точек векторных полей на плоскости. В работе используется метод многократного раздутия особенностей, метод нормальных форм, а также метод Дюлака изучения асимптотики преобразования монодромии сложного цикла.
2. Топология фазового портрета. Рассмотрим задачу построения фазового портрета вещественно-аналитического векторного поля в окрестности особой точки на плоскости с точностью до орбитальной топологической эквивалентности. Другими словами нас будет интересовать поведение фазовых кривых в окрестности особой точки, а также направление движения по ним, но не скорость движения.
Если матрица линейной части поля в особой точке невырождена, то особая точка называется невырожденной и может быть, как известно, одного из следующих типов: седло, узел, фокус, центр.
Если матрица линейной части векторного поля в особой точке имеет по крайней мере одно ненулевое собственное значение, то особая точка называется элементарной. Векторное ноле в окрестности элементарной особой точки может быть приведено к полиномиальной нормальной форме с помощью гладкой замены переменных. Список нормальных форм приведен в ([8], с.88). С точки зрения топологии локального фазового портрета элементарная особая точка кроме вышеперечисленных четырех типов может быть еще только седло-узлом. Топологический тип невырожденной особой точки, кроме случая центра по линейным

Носители многочленов X] , У] лежат на прямой 1 = {ш + т] — птМ + 1}. Покажем, что максимально возможный носитель этих многочленов содержит по крайней мере X целочисленных точек. Предположим, что он состоит из з подряд идущих целочисленных точек, где в < X — 1. Соединим крайние точки отрезком Р. Проекция отрезка Р на ось абсцисс имеет длину йх = (ь1 — 1)га < (X — 2)т. Проекция же отрезка Рь соединяющего точки пересечения р с осями координат имеет длину 32 > тпМ + К Разность — 51 > 2т + К Это значит, что на Р имеется по крайней мере ещё одна целочисленная точка.
Пусть для определенности Ро(ж, у) > 0 и пусть т - чётно. Тогда из уравнения т + ту = птХ + 1, получаем, что для точек (г,у) носителя Х,У все г нечётны, а у чередуются по чётности. Пусть (X],Ух) = жУ(п, то), где у - нечётно. Поскольку точка пересечения с {г = 0} имеет координату у’о = пХ + —, где ~ < |, то у < Хп — 1. При таком выборе Хх, Фх(ж,г/) = птгу?/Ро, поэтому левая часть (1.1) равна
7° 5?х0(1,о
'"Р- / Т775 Т ехр
-со о(1,гн) (( Ро(1
Поскольку
Х°() = —1. + ф(Л
где Ф(£) = О(ф) при £ -+ 00, то
Х0(1,О

1п п) + г(щ),
ео(1,0 ГП
где г(;ш) ограничена при щ —> оо. Поэтому левая часть (1.1) с точностью до умножения на положительное число равна

_4 Р0(1,™)Нт
Поскольку степень Ро(1,£) равнапХ, то в силу неравенства Хп—у > 1 получаем, что этот интеграл сходящийся и положительный.