Каноническая система двух дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами : вопросы существования периодических решений и их устойчивости

• Автор: Жукова, Анна Александровна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 106 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Уравнение Хилла и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе
1.1 Уравнение Хилла
1.2 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на торе
1.3 Связь сильной устойчивости и сильной неустойчивости уравнения Хилла с числом вращения и гомеоморфизмом Пуанкаре для уравнения Прюфера
1.4 Устойчивые по Плиссу числа вращения
1.5 Уравнение Хилла с постоянными коэффициентами
1.6 Связь мультипликаторов с числом вращения
1.7 Критерий устойчивости Жуковского
1.8 Неоднородное уравнение Хилла
2 Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка
2.1 Признак существования и единственности неустойчивого периодического решения
2.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения
2.3 Нелинейное обобщение критерия Жуковского
2.4 Маятник с колеблющейся точкой подвеса
3 Система двух линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами и теория Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе
3.1 Каноническое уравнение с постоянным гамильтонианом
3.2 Каноническое уравнение с произвольным периодическим
гамильтонианом
3.3 Достаточные условия неустойчивости
3.4 Достаточные условия устойчивости по Дирихле
3.5 Система двух линейных дифференциальных уравнений с
периодическими коэффициентами
3.6 Уравнение Прюфера и дифференциальные уравнения на
торе
3.7 Вспомогательные леммы
3.8 Вещественные мультипликаторы
3.9 Невещественные мультипликаторы
3.10 Устойчивые по Плиссу числа вращения
3.11 Один пример линейной канонической системы
4 Нелинейная каноническая система с периодическими коэффициентами
4.1 Признак существования и единственности неустойчивого
периодического решения
4.2 Критерий устойчивости по Дирихле периодического решения
Заключение

Введение
Уравнение Хилла [41] хорошо известно в теории колебаний. Возникшее при изучении движения Луны в астрономии, оно вызвало пристальное внимание со стороны математиков. Одним из важных и трудных вопросов в теории уравнения Хилла является вопрос об устойчивости, причем эта устойчивость, если она имеет место, носит характер двусторонней устойчивости по Ляпунову, что иными словами называется устойчивостью по Дирихле [7].
Устойчивость по Дирихле означает, что из малости решения и его производных в какой-то момент времени вытекает его малость на всей числовой прямой, а не только в положительном направлении, как в теории Ляпунова. Из устойчивости по Дирихле вытекает, конечно, устойчивость в смысле Ляпунова. Для изучаемых в диссертации канонических систем, к которым стандартным образом может быть приведено уравне-ни Хилла, верно и обратное.
Устойчивость в смысле Дирихле берет свое начало от теоремы Дирихле в аналитической механике, называемой также теоремой Лагранжа.
Уравнение Прюфера хорошо известно в теории уравнения Хилла. Но никто - по нашим сведениям - не обратил внимания на то, что его можно трактовать как дифференциальное уравнение на торе. Согласно теории Пуанкаре-Данжуа дифференциальных уравнений на торе поведение решений в целом характеризуется числом вращения и некоторым гомеоморфным отображением окружности на себя. Отметим лишь,что
Тогда нелинейное уравнение Хилла (2.1) имеет единственное и> -периодическое решение. Это решение устойчиво по Дирихле в первом приближении.
Проанализируем условия (2.27). Из них вытекает, что функция f(t,x) по переменной х удовлетворяет условию Липшица как сверху, так и снизу. Далее,
□ Для доказательства существования и единственности ш-периодического решения нелинейного уравнения Хилла (2.1) воспользуемся следующим известным результатом, полученным вариационным методом [22, с.173, теорема 1]. Согласно этой теореме дифференциальное уравнение (2.1) имеет единственное а;-периодическое решение, если при некотором целом неотрицательном т выполнено условие
где р и и - некоторые положительные числа, для которых
Возьмем в качестве р и V числа, стоящие слева и справа в двусторонних оценках (2.27) соответственно. Мы видим, что выполнено условие (2.29); осталось проверить, что при некотором целом неотрицательном т выполнено требование (2.30).
Пусть п - четное число; положим п = 2т. Тогда согласно (2.27)
0 < £+ < 7Г, 0 < Є_ < 7Г (є+ + Є— < 7г).
(2.28)
(2.30)