Асимптотика спектра магнитных операторов Шредингера и представления нильпотентных алгебр Ли

• Автор: Кудрявцев, Олег Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 123 с.

Оглавление
Введение
§ 1. Спектральные свойства операторов II 1редингера
§ 2. Элементы теории представлений нильпотентных алгебр Ли
§ 3. Основные результаты и примеры
§3.1 Спектральная асимптотика операторов Шредингера в Л2 с полиномиальным
магнитным полем
§ 3.2 Примеры к теореме 3.
§ 3.3 Некоторые обощения теоремы 3.1. Существенное множество вырождений магнитного поля - кривая
§ 3.4 Спектральные свойства операторов Шредингера в Л”
§ 3.2 Примеры к теореме 3.
Часть I. Асимптотический анализ в окрестности множества вырождений магнитного потенциала
§ 4. Анализ вклада в асимтотику окрестности множества вырождения
§ 5. Доказательство теоремы 4.
§ 6. Случай нескольких множеств вырождений
§ 7. Асимптотика одного вида функций
Часть II. Доказательство теоремы 3.
§ 8. Доказательство теоремы 3.1(6)
§ 9. Доказательство теоремы 3.1 (а)
Часть III. Доказательство теоремы 3.3-3.
§ 10. Доказательство теоремы 3.
§11. Доказательство теоремы 3.
§ 12. Доказательство теоремы 3.
Литература

ВВЕДЕНИЕ
1 Спектральные свойства операторов Шредингера
Рассмотрим оператор Шредингера в 1^(R")
Н(а) + V = Y,(Dj - щ)2 +1/, Dj = —idXj, i = v^I, j=i
где a.j и К операторы умножения на действительнозначные функции %(т) и У(.т), соответственно. Пусть
aj(s) Е C1(R"), j = 1,... n;
К(ж) G LUoc(Rn), V(x) > О,

Li,ioM = ufg е bi(0),v.9 g С8°(П)},
Z/i(f2) - пространство комплекснозначных измеримых функций на Cl с нормой WfWhtfi) = Ucif(x)dx)^2 < оо, и Co°(f2) - пространство бесконечно дифференцируемых функций с носителем в О.
Одним из важнейших методов задания самосопряженного оператора явля ется "метод форм". Этот метод основан на теореме Фридрихса (см. , напр. , [17] ) о построении самосопряженного оператора по квадратичной форме. Напомним, что оператор А (форма q) называется положительно опре деленным, если
0< inf < .Aw; it > (0 < inf i7(w;w)|,
«садим ^ «е«ММ J
где D(A) и d(q) - области определения оператора А и формы q, соответственно; < w,v >= fRn u(x)v(x)dx; || * || = || * IU2(Rn)-
Под формой q в L2(Rn) мы понимаем эрмитову форму, т.е. линейную по первому аргументу форму, удовлетворяющую условию q(u;v) — q{vu) Vit,v G d{q). Функция q[u) := q{uu) называется квадратичной формой, отвечающей q(uv). Существует взаимно однозначное соответствие между эрмитовыми и квадратичными формами, поэтому q{u v) и q(u) просто называют формами. Если форма q - положительно определена и множество d{q) - полно по q—норме (|| Теорема 1.1 (Фридрихса) 1) Каждому самосопряженному положительно определенному оператору А отвечает единственная замкнутая положительно определенная форма q такая, что
Л(Л) С й{ч) < Ащ V >— ц{и, у), Уи £ О (А), Уг> £ й(д), (1.1)
2) Обратно, каждой замкнутой положительно определенной форме q отвечает единственный самосопряженный положительно определенный оператор А такой, что выполнено (1.1) .
Отметим, что качественные и количественные характеристики спектра положительно определенного самосопряженного оператора хорошо описываются в терминах его квадратичной формы. Это часто позволяет обходится при спектральном анализе без явного описания области определения оператора и даже более того, без явного описания его "действия" .
Очевидно, оператор Н(а) 4- V является положительно определенным. Рассмотрим форму в гильбертовом пространстве (В*).
Чау {и, у) =< (Н(а) 4- У)и; V >= ^ < (Ю] - а^и, — а$)у > + < У1/2и, У1^2у >,
где и,у £ Со°(Кп). Известно [56] , что форма qay замыкаема и ее замыкание, которое мы также обозначим чау, ~ положительно определенная симметричная форма с областью определения
й{чау) = L2(R.n)(Dj - а^и £ Ь2{Ип),^ — 1,... ,п, У1'2и £
где под частным дифференцированием понимается дифференцирование в смысле распределений. Обозначим самосопряженный оператор в Ь2(КП), отвечающий форме чау, через Н{а) + V; а = (а*,..., ап) и V называются соответственно векторный(магнитный) и скалярный(электрический) потенциал. А соответствующее магнитное поле - это кососимметрическое матричнозначное распределение
В = [&)*]> - ЩщЦх).
Спектральная теория операторов Шредингера - это бурно развивающаяся область математики, имеющая приложения в различных областях физики. Начиная с работы Каца "Можно ли услышать форму барабана" [54]

Часть I
Асимптотический анализ в окрестности множества вырождений магнитного потенциала
4 Анализ вклада в асимтотику окрестности множества вырождения

Рассмотрим многочлен Ых, х2) степени т, те N. имеющий вид Ь(х1,х2)= V ЬцхЩ6у 6 И, г+]<т.
Пусть существует константа С > 0 и многочлены Рт(т1, £2), Рт_г(ж1. х2) сте-пени т и не выше т — 1 соответственно,
Рт(ж1,гг2) = ^ ачхА■> %' € И, г +7 = т,
г+]=т
Рт-1{Х1,Х2)= 53 с„ 6 Е, г + «<т,
г+в<ш
такие, что
ЬС*1, Ж2) = Рт(щ1,т2) + Рт-1(хих2), {хих2) ЕВ.,т£П,т> 1, (4.1)
%„(^0), г + а<т Зад ф 0, ] > г, к > в,} + к = т. (4.2)
Обозначим через 7 — {(^7)1сг1 ¥" 0’ г:3 £ 2^.} и через 7 подмножество 7, состоящее из всех пар (го,^о) ё 7 таких, что
То Г 7 !
г — тах (------+
*о + 2 (*,Ле* г +
Положим
А: = тах {г0}, ^ = тах {?'0}
(^о)е^ (го^о)е^
Очевидно, (к,1) 6 3. Пусть Рт(х 1,2:2) представим в виде
^т(^1,Ж2) = <5т_й0(ж1,ж2) ф 0,У(яья2) ф 0.