Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и аттракторов коциклов

• Автор: Слепухин, Александр Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 113 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Существование коциклов и их глобальных 13-аттракторов

1.1 Основы теории коциклов

1.2 Коциклы, порождённые обыкновенными дифференциальными уравнениями

1.3 Рассматриваемые классы задач

1.4 Изучаемые классы возмущений

1.5 Существование коциклов для иссследуемых классов задач

1.6 Понятие глобального 13-аттрактора для коцикла

1.7 Существование глобальных 13-аттракторов коциклов

2 Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных неавтономных множеств и глобальных 13-аттракторов коциклов
2.1 Понятие размерности Хаусдорфа для неавтономного множества коцикла
2.2 Теорема о верхней оценке размерности Хаусдорфа отрица-
тельно инвариантных множеств и глобальных 13-аттракторов коциклов
2.3 Верхние оценки размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантных множеств и глобальных /3-аттракторов коциклов, порождённых обыкновенными дифференциальными уравнениями
2.4 Верхняя оценка размерности Хаусдорфа отрицательно инвариантного неавтономного множества локального коцикла, порождённого системой Рёсслера с гладким по времени возмущением
2.5 Верхняя оценка размерности Хаусдорфа глобального -аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с квази-периодическим возмущением
2.6 Обобщение неравенства Лиувилля с помощью матричных неравенств Ляпунова
2.7 Использование матричных неравенств Ляпунова для модификации обобщённой теоремы оценки размерности
3 Численный анализ зависимости глобального /3-аттрактора коцикла, порождённого системой Лоренца с непрерывными по времени возмущениями, от класса таких возмущений и параметра
Заключение
Литература

Введение
Теория коциклов является мощным инструментом в различных областях теории динамических систем [1, 5, 6, 7, 8, 16, 19, 20, 27, 29]. В частности, коциклы можно рассматривать в качестве обобщённых динамических систем и эффективно использовать для исследования неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений [13, 16, 31, 32, 33, 38]. Эта теория даёт возможность для широкого класса неавтономных обыкновенных дифференциальных уравнений получить результаты аналогичные результатам для автономного случая: например, условия существования глобального аттрактора и его свойства [16, 17].
Важными результатами на пути развития теории коциклов и их аттракторов были работы М. В. Бебутова [41], Р. К. Миллера и Д. Р. Селла [26], Д. Р. Векмана [38], П. Е. Клоедена и Б. Шмалфуса [16] и другие.
Основная идея построения коцикла заключается в следующем. Для заданного неавтономного обыкновенного дифференциального уравнения, используя топологический поток Бебутова, строится расширение этого уравнения на новое фазовое пространство. На языке полученного расширения появляется возможность получить обычные групповые или полугруп-повые свойства динамической системы. То есть, используя такой приём расширения возможно, при некоторых технических предположениях, интерпретировать неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение как обычную динамическую систему (систему расширения).

1.6. Понятие глобального б-аттрактора для коцикла
В теории коциклов развиваются понятия аналогичные понятиям теории динамических систем: инвариантность, поглощение, притяжение, аттракторы [1, 13, 16].
Пусть задан глобальный коцикл ({<{0, -), (Ц, Ри)) над базисным

ПОТОКОМ (0, Ре)), где и С Мп - открытое множество в смысле
замечания
Определение 1.14. Пусть для коцикла задано отображение, действующее как в е 0 Я{9) С Ы, тогда совокупность Я = {Я(0)}вев называется
неавтономным множеством для заданного коцикла.
Определение 1.15. Неавтономное множество Я = {Я(в)}д£е называется компакт,ным, замкнутым или ограниченным, если для каждого О Е 0 множества Я (в) С Ы, соответственно, компактны, замкнуты или ограничены.
В дальнейшем основными изучаемыми объектами являются инвариантное неавтономное множество коцикла и аттрактор коцикла как частный случай инвариантного неавтономного множества.
Определение 1.16. Неавтономное множество Я — {Я(в)}д&& называется
1) полоэюительно инвариантным для заданного коцикла, если
рг(в,Я(в))сЯ(ав)),
для любых £ Е Ж+, 9 Е 0;
2) (строго) инвариантным для заданного коцикла, если
<рв,г{в)) = 2{ав)