Оценки сильного и слабого типов для операторов свертки, существование и эквивалентность обобщенных ортоподобных систем

• Автор: Семенова, Татьяна Юрьевна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 69 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ.
Введение
Глава 1. Оценки сильного и слабого типов для операторов свертки
Глава 2. Существование и эквивалентность обобщенных ор-
топодобных систем
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ.
Пусть р Є [1,оо], д Є [1,оо], 0 и - пространства со счетно-аддитивными неотрицательными мерами г/ и ь> соответственно (см. [19], с. 288-355), Т - оператор, определенный на некотором подмножестве К С т?), значения кото-
рого - функции на Гф.
Т называется оператором сильного типа (р, д), если для любой / Є К Г/ Є Ья{£іи,и) и
\TfU <СУ\Р.
Т называется оператором слабого типа (р,д), р Є [1, оо], д Є [1, оо), если для любой / Є К Г/ - -измеримая функция и для любого а > О
Постоянные в обоих неравенствах не зависят от функции /.
При д = оо по определению понятие оператора слабого типа (р, д) совпадает с понятием оператора сильного типа
Если Т - оператор сильного типа (р, д), то он также оператор слабого типа (р,д), что показывает следующее неравен-
ство:
ЦГ/ll; = j Tf{y)’dv{y) I Tf(y)4v(y) >
fl* {yeÜv:Tf(y)>a}
> atqv{y e Ü„ : Tf(y) > a}.
Значит
v{y e ü„: Tf(y)>a}< < (4)'
Обратное утверждение неверно.
Пусть /(ж) - интегрируемая по Лебегу на каждом ограниченном интервале прямой (—оо,+оо) функция и е ф 0, определим преобразование
1 с 1 х+е
DJ(x) = - j f(x + t)dt = - / e о e *
тогда фундаментальная теорема теории интегрирования Лебега утверждает, что
lim Def{x) = f{x)
почти всюду, т.е. что неопределенный интеграл - почти всюду дифференцируемая функция.
Если р > 1, /6 If(R), то также верно, что
lim/ |А/0) - /(»Рж = 0.
б-+0

Доказательство. Подберем с' такое, что отрезок [—с', с'] содержит носитель функции 0. Тогда:
19а(и - *) - ва(и) | < С а2Ь
00 ОО
/ а*<Р*1(х)Мд(А)| = / ЖА)| I <1и/(х - и)(еа*<рх){и)
а <* Я
оо
11 фДл)| Iйи${х - и) и йгва{и - г)<р(г)
« я я
ОО
= 11 б?/х(Л) I I <1и{{х - и) и (И [ва(и - £) - ва(и)](р)
а к Д

< [ |(Л)| I <1и ! М |/(ж - «)| |д(*)| |0а(« - *) - (м)|
“ Я Я

= / И/*(А)| [ (1и I М/(х-и) |л(0|-С'-«2-К|-Х[_£_|<[)£+|*|](«)-« я я
По неравенству Минковского (см. [14], с. 571), свойствам <д и

//, получаем:
<_хц
У |0л*ра*/(я)1И/*(А)|

/ оо
< С /|(А)| /<*м/ <а(рх{г)С а2Их[__|<|1|+|<|](м

оо / /
СI И/х(А)| I <И<рх(г)Са2Щ у- + И 11/11

= С||/||Р.0Г/№(Л)|(1||4»,(()||1 + Я||(2у(()||1) <