Интерполяционная задача Абеля-Гончарова

• Автор: Андриянов, Геннадий Иванович
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Калуга
• Количество страниц: 126 с.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. ПРОСТРАНСТВА СХОДИМОСТИ И ЕДИНСТВЕННОСТИ НЕКОТОРЫХ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ЗАДАЧ И СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ, СВЯЗАННЫЕ С НИМИ
1.1. Квазистепенная базисность некоторых функциональных систем
1.2. Пространства сходимости интерполяционной задачи Абеля - Гончарова для некоторых видов узлов интерполяции
1.3. Пространства единственности интерполяционной задачи Абеля-Гончарова
2. РЕШЕНИЕ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ АБЕЛЯ-
ГОНЧАРОВА ДЛЯ НЕКОТОРОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ УЗЛОВ ИНТЕРПОЛЯЦИИ
2.1. Пространства единственности интерполяционной задачи Абеля-Гончарова для узлов интерполяции Хп
п + (—1)пт, п = 0,1
2.2. Пространства единственности интерполяционной задачи А-Г для узлов интерполяции Хп — п + (—1 )пт, п — 0,1
2.3. Решение задачи Абеля-Гончарова для узлов интерполяции Хп — п + (—1)пт, т € С
3. ПРИНЦИП ДВАЖДЫ СИММЕТРИЧНЫХ МНОЖЕСТВ, ПРОСТРАНСТВА СХОДИМОСТИ И ЕДИН-

СТВЕННОСТИ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОЙ ЗАДАЧИ
ТИПА АБЕЛЯ-ГОНЧАРОВА
3.1. Принцип дважды симметричных множеств и полнота некоторых систем аналитических функций
3.2. Пространства единственности симметричной задачи типа Абеля-Гончарова
3.3. Решение симметричной интерполяционной задачи типа Абеля-Гончарова
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена интерполяционной задаче Абеля-Гончаро-ва (А-Г) для целых функций конечного порядка одного переменного. Задачей А-Г называется задача в теории функций комплексного переменного, состоящая в нахождении всех функций Р{г) из некоторого класса, удовлетворяющих соотношениям:
Е(п)(Ап) = ап, п = 0,1,2
где {ап}£Д0, (Ап}0 - допустимые для данного класса последовательности комплексных чисел. Числовая последовательность {АП}Д0 называется последовательностью узлов интерполяции.
Задача А-Г давно привлекает внимание специалистов по теории функций комплексного переменного, ею занимался еще Абель в прошлом веке. В 30ж годах ее рассматривали С.Н. Бернштейн, А.О. Гель-фонд, В.Л. Гончаров. Далее ею занимались Э. Уиттекер, С. Макин-тайр, М.М. Джрбашян, И.И. Ибрагимов, М.А. Евграфов. В 60® — 70х годах эту задачу рассматривали Ю.А. Казьмин, В.А. Осколков и другие (см.[1], [9-13], [15,16], [18],[20], [22,23], [27-30]).
Первоначально предполагалось, что решение задачи А-Г даст возможность эффективно изучать распределение нулей производных целых функций. Однако, вскоре оказалось, что задача А-Г очень трудна и вопросы приложения полученных результатов отошли на второй план. И в настоящее время состояние теории здесь очень далеко от законченного. Все это вполне оправдывает интерес к задаче А-Г.
Прежде чем переходить к существу вопроса, приведем известные определения и обозначения, которыми будем постоянно пользоваться.
Пусть В — односвязная область с односвязным дополнением С Б до всей расширенной комплексной плоскости С2, оо В. А(В) — пространство функций /(г), регулярных в Г), с топологией равномерной сходимости на компактах из В. Символом Ац обозначаем пространство А(г < Д). Через А$(СВ) обозначаем пространство функций д(г), д(оо) = 0, регулярных на СВ, с топологией, индуцированной топологией сопряженного пространства, которое, как хорошо известно, может быть реализовано в виде пространства А(В).

также образует КС-базис в любом пространстве А(Вр),
О < р < 5.
Доказательство. Сразу следует из сказанного после замечания 1.2 и теоремы 1.3.
Замечание 1.3. Если область 5д отлична от круга г < К, то условия 1° и 2° в определении 1.1 связаны с аналитическим продолжением функций, заданных рядами Е&о и Ещо (к- Привести необходимое и достаточное условие принадлежности о С 5(12д), годя-
щееся для любой геометрии области 5д, в терминах ограничений на коэффициенты Ь/г, к = 0,1,2
Определение 1.2. (см.[24]) Целая функция Д(г) называется целой функцией нулевой степени, если порядок ее либо строго меньше единицы, либо равен единице, но тогда тип ее обязан равняться нулю.
Теорема 1.4. Пусть Ъ(г) — целая функция нулевой степени и выполнено одно из условий
Ь(п)-Ьп 0, п = 0,1,2
Ь(п) = -, п = 0,1,2
Тогда числовая последовательность {5п}о С В{Ад).
Доказательство. Пусть например, выполнено условие (1.34), тог- да согласно теореме Ло-Вигерта (см.[4],[24]) функция р(£) = Е£о имеет в С единственную особую точку — полюс в ( = 1. Поскольку композиция Адамара для функций
оо оо
с(С) = ЕМ‘ и "(О = £ т-С*
к=0 к=0 °к
есть функция то согласно результату Пойа (см.[4] стр.155), функция и(() имеет особую точку В С = 1 и возможно В точке С = оо.
Таким образом, функции д(£) и и(£) имеют по особой точке в