Аппроксимативные методы решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода

• Автор: Аюпова, Елена Фаизовна
• Шифр специальности: 01.01.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 113 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. Приближенные методы решения одномерного слабо сингулярного интегрального уравнения первого рода с логарифмическим ядром
§1.1. Некоторые вспомогательные результаты
§1.2. Пространства Зигмунда и их свойства
§1.3. Элементы теории приближения функций в пространствах
Зигмунда
§1.4. Корректная постановка задачи і
§1.5. Приближенные методы решения
1.5.1. Метод Галеркина
1.5.2. Метод коллокаций
1.5.3. Метод вырожденных ядер
1.5.4. Метод механических квадратур
§1.6. Приближенные методы решения. Продолжение
1.6.1. Метод механических квадратур
1.6.2. Итерационные методы
1.6.3. Квадратурно-итерационные методы
1.6.4. Проекционно-итеративный метод
ГЛАВА 2. Приближенные методы решения двумерного слабо
сингулярного интегрального уравнения первого рода
с логарифмическими ядрами
§2.1. Постановка задачи и структура обратного оператора

§2.2. Вспомогательные результаты
§2.3. Итерационные методы
§2.4. Метод механических кубатур
§2.5. Кубатурно-итерационные методы
§2.6. Общий проекционный метод
Библиографический список использованной литературы

ВВЕДЕНИЕ
В процессе решения большого числа теоретических и прикладных задач математики, механики, физики, химии и техники (см., например, работы [12, 31, 34, 40, 44, 51, 55, 60, 68, 71, 78 - 80, 84, 92, 97, 99] и библиографию в них) возникают слабо сингулярные интегральные уравнения (с.с.и.у.) первого рода с логарифмическими ядрами в главной части интегрального оператора вида
I 2л 1 2л
| 1п эт-—— х(а)с!ог 4 | /г(з,а)х(сг)(1а = у(я); (0.1)
Л 2 2тс Л
Л г г 1п

. (Т

2л2л
гу — с _ Т — £
вЮ х(<7, т)с1(Тс1т +

2л2л
4 к2
Л(5, г, <т, г) х(сг, г) с1о <Лт = г(5, 0, (0.2)

здесь /г(5,а), у(я), /г(5,/,сг,т), у(5>0 — известные непрерывные 2л-периодические функции по каждой из переменных, х(а), х(а,/) — искомые функции, причем слабо сингулярные интегралы понимаются как несобственные.
Из теории таких уравнений (см., например, [9 - 10, 12, 32, 50, 67, 70, 78, 82 - 83, 88] и библиографию в них) следует, что они решаются точно лишь в весьма редких частных случаях, но даже в этих случаях для доведения результата до числа необходимо вычислять регулярные, сингулярные и слабо сингулярные интегралы со сложными плотностями. В связи с этим для теории, и в особенности для приложений, проблема разработки приближенных методов решения слабо сингулярных интегральных уравнений первого рода с соответствующим теоретическим обоснованием представляется важной актуальной задачей.
О результатах, полученных в этой области отечественными математиками и механиками, а также рядом зарубежных авторов, достаточно
от данного пространства X (или же наоборот) и условий решаемой задачи исходное уравнение становится уравнением, приводящимся к уравнениям второго рода, а тогда задача решения уравнения (0.1) будет поставлена корректно [26].
С учетом сказанного в качестве исходного пространства X обычно рассматривают пространство Ьг,2л или пространство Н&[ 0,2яг]
(О < /3 < 1), а в качестве пространства правых частей У = Xх.
В дальнейших рассуждениях нам понадобится следующая лемма и ее следствие (см., например, в [26]):
Лемма 4.1. Оператор б': X У непрерывно обратим и обратный
оператор б-1: ¥ —» X определяется по формуле
б_1(у;5) = -2/(/;5) + —— ГуфЖ, уеУ. (4.3)
2я-1п2 '
Если X = Ь2, а У - Xх, то
8~у,*) = + И у е Г. (4.4)

Здесь
1 2я <7-
1<р = 1(фг,5) = — Гсф——0-)Аг, (4.5)

сА() = —- |р(а-)е"'*°'<5(а, (р еб2, А: = 0, ± 1

Следствие. При X - Ь2, У = IVI для обратного оператора б1-1 справедлива формула
||б-’|| = 1, б”1:1 -> Ь2. (4.7)
Из известных результатов, приведенных в [26], нетрудно получить результат следующей леммы