Формирование общих приемов поиска доказательства математических утверждений

• Автор: Туркина, Валентина Михайловна
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 202 c. : ил

Глава I. ЛОШОДИДАКТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ПОНЯТИЯ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО В ШКОЛЬНОМ КУРСЕ МАТЕМАТИКИ I. Логикоматематический анализ понятия доказательство в школьном курсе математики 2. Анализ доказательства как процесса Глава П. МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ ОВДИХ ПРИЕМОВ ПОИСКА ДОКАЗАТЕЛЬСТВА МАТЕМАТИЧЕСКИХ УТВЕРВДЕНИЙ 3. Общие приемы учебной работы по поиску доказательства математических утверждений 4. Организация деятельности учащихся по усвоению методов доказательства 8. Учебновоспитательная работа современной средней школы направлена на то, чтобы дать молодежи глубокие и прочные знания о законах природы и общества, сформировать у нее марксистсколенинское мировоззрение, воспитать стремление к активной трудовой и общественной деятельности. В документах партии и правительства специально отмечается, что при обучении школьников необходимо добиваться не только усвоения фактов. Важно также научить их самостоятельно добывать знания. Решения ХХУ1 съезда КПСС, Постановление Верховного Совета СССР Основные направления реформы общеобразовательной и профессиональной школы 4 ориентируют школу на развитие мышления таким образом, чтобы получаемые знания становились основой для получения новых знаний и формирования новых умений, чтобы знания и умения помогали решению практических задач.


Главное в таком понимании доказательства это установление, действительно ли полученное суждение следует из данных суждений. Для узкого понимания доказательства характерна тенденция ко все большей формализации. Наиболее формализовано понимается доказательство в математической логике. Формальным доказательством мы будем называть конечную последовательность 5, , г , . Бп. Формализация доказательства связана с требованием дедуктивного построения теории. В настоящее время научный курс геометрии является дедуктивным. Е качестве аксиом, а все дальнейшие предложения доказываются в виде теорем. В таком курсе нигде не обращаются к опыту или непосредственной очевидности. Общим в понимании доказательства в широком и узком смыслах является структура доказательства. Любое доказательство включает в себя три основных элемента тезис, аргументы основания доказательства, демонстрация. Тезис доказательства. Тезисом называется суждение, истинность которого устанавливается посредством данного доказательства. Главная цель всех доказательств установление истинности тезиса. Если тезис истинен, то всегда существует возможность его доказать. Правда, иногда такое доказательство бывает очень трудно найти. Форма, в которой высказывается тезис суждение. Аргументы доказательства. Аргументы основания доказательства это те положения, на которые опирается доказательство и из которых, при условии их истинности, необходимо следует истинность доказываемого тезиса. Форма, в которой высказываются аргументы суждение. Причем, аргументы подчинены тезису. Действие аргументов проявляется лишь в том случае, когда они берутся в определенном соотношении друг к другу. Связывая аргументы, приходим к умозаключению. Убедившись е истинности суждений и правильности построения
умозаключения, приходим к выгоду. Общим и основным требованием при подборе аргументов является их истинность и достаточная полнота для обоснования. В логике рассматриваются различные виды аргументов положения об удостоверенных единичных фактах, определения, аксиомы, ранее доказанные утверждения, начальные основания и т. В отличие от широкого понимания доказательства, высказываемого в логике, в формальном доказательстве в само определение этого понятия включены те аргументы, на которые можно опираться при доказательстве аксиомы, определения, ранее доказанные теоремы. Аксиома это суждение,которое при дедуктивном построении теории принимается в качестве исходного положения. Система аксиом составляет основу построения теории. Основанием для выбора утверждений, получающих статус аксиомы, является не удобство, не соглашение, а способность выбранной системы аксиом дать возможность доказать всю совокупность теорем данной теории, причем совершенно независимо от того, сколь они просты и очевидны . В качестве аксиом нельзя принять совершенно произвольные утверждения. Для того, чтобы мы могли пользоваться ими при доказательстве как истинными утверждениями это главное требование к аргументам доказательства, к системе аксиом предъявляются следующие требования непротиворечивости, независимости, полноты. В математике в качестве оснований для доказательства принимаются также ранее доказанные теоремы. Под теоремой понимается истинное утверждение, для которого существует доказательство. Теорема, в свою очередь, также имеет свою структуру. Структурными элементами являются разъяснительная часть, условие, заключение. Разъяснительная часть указывает то множество, на котором данное утверждение истинно. Условие теоремы указывает, по каким элементам выделяется класс объектов, что об этом классе объектов утверждается. Заключение указывает на отношение свойство объектов, которое требуется установить. Ъ х заключение теоремы. Например, в равнобедренном треугольнике медиана проведенная к основанию, является высотой. АЛ отрезок уп , проведенный к основанию треугольника ос , является медианой треугольника х x отрезок т проведенный к основанию треугольника ос , является высотой треугольника х. На естественном языке эта теорема может быть сформулирована в виде различных по форме предложений, хотя в их содержание будет вложена одна и та же мысль.