Методика аксиоматического введения в курс геометрии восьмилетней школы

• Автор: Грузин, Александр Иванович
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1985
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 204 c. : ил. + Прил. (77 с. : ил.)

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Глава I. НАУЧНОМЕТОДИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИЗУЧЕНИЯ

ГЕОМЕТРИИ ПШ АКСИОМАТИЧЕСКОМ ПОСТРОЕНИИ

I. Роль и значение аксиоматического метода

в математике.

2. Характеристика систем аксиоматического

построения школьных курсов геометрии 3. Педагогические условия успешного

осуществления аксиоматического введения в

курс геометрии восьмилетней школы .

Глава П. МЕТОДИКА ИЗУЧЕНИЯ НАЧАЛЬНЫХ РАЗДЕЛОВ

АКСИОМАТИЧЕСКОГО КУРСА ПЛАНИМЕТРИИ
4. Организация изучения аксиом и определений . .
5. Обучение доказательству геометрических
утверждений.
6. Педагогический эксперимент
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Паш сформулировал основную задачу обоснования геометрии, указав, что основные положения геометрии должны быть заимствованы из опыта, но дальнейшее развитие геометрии должно протекать путем число логических умозаключений (, с. Паш разработал и включил в аксиоматику евклидовой геометрии три группы аксиом: аксиомы соединения, аксиомы порядка и аксиомы конгруэнтности. Система аксиом Паша в целом оказалась тяжеловесной, хотя в общем он "подошел очень близко к системе аксиом, достаточной для развития геометрии" (, с. Аксиоматизация довольно узкого раздела геометрии была предпринята Д. Пеано (1). Ьго важнейшая заслуга заключается в том, что при изложении анализируемой области он достиг высокой логической стройности (4, с. Ученик Д. Пеано - М. Пиери ( г. В своей работе (2) он опирался на минимум основных понятий - "точка" и "движение". Система аксиом Пиери страдает недостатками в следующих отношениях. Стремясь к минимальному числу основных понятий, Пиери ради этого формального упрощения крайне усложнил свою систему по существу. Многие из его аксиом очень тяжеловесны. Чрезмерно уменьшив число основных понятий, Пиери был вынужден вводить "изгнанные основные понятия ("прямая", "плоскость", "между") посредством искусственных определений. Вследствие этого не было выявлено естественное логическое расчленение аксиоматики по областям действия отдельных основных понятий, логические связи были даны в запутанном виде, а система приобрела весьма тяжеловесный вид (,с. Исследование аксиоматики евклидовой геометрии было завершено Д. Гильбертом ( г. Гильберт упростил и усовершенствовал аксиомы Паша и включил их в I, П и III группы аксиом своих "Оснований геометрии" (). Основная заслуга Гильберта, благодаря которой его труд на наших глазах становится классическим, заключается в следующем. Гильберту удалось сконструировать аксиоматику геометрии, раачлененную настолько естественным образом, что логическая структура геометрии становится совершенно прозрачной. Это расчленение аксиоматики позволяет, во-первых, формулировать аксиомы наиболее простым и кратким образом и, во-вторых, исследовать, как далеко можно развивать геометрию, если класть в ее основу не всю аксиоматику, а те или иные группы аксиом, на которые естественным образом расчленяется аксиоматика. Такого рода логический анализ, действительно проведен Гильбертом в ряде интересных исследований, которые и составляют, в сущности, большую часть его книги. Кроме того, работа Гильберта дала толчок целому ряду дальнейших исследований в этом же направлении, о некоторых из них он упоминает в подстрочных примечаниях" (, с. Другая система аксиом евклидовой геометрии была предложена приват-доцентом Новороссийского университета В. Ф.Каганом ( г. Все эти три различные аксиоматики евклидовой геометрии (М. Пиери, Д. Гильберт, В. Ф.Каган) были предложены примерно в одно время. Й.М. Д. Гильберт, учитывая эту структуру аксиоматизировал понятие когруэнтностя отрезков и углов. М.Пиери считал неопределяемым понятие движение, а В. Ф.Каган исходил из понятия расстояния между точками. Эти три различных подхода приводят к построению одной и той же геометрии трехмерного. Таким образом, можно установить эквивалентность этих трех систем обоснования геометрии. Но само представление о сравнительной "важности" того или иного понятия, разумеется, не имеет никакого отношения к математической науке; в методологии (и в методике) математики оно, напротив, заслуживает самого серьезного внимания" (2, с. Остановимся несколько более подробно на системе аксиом Д. Гильберта, так как именно работа Гильберта способствовала не только обоснованию геометрии, но и новому пониманию сущности аксиоматического метода. Ведь не случайно "аксиоматический метод как самостоятельная теория датируется от классических "Оснований геометрии" Д. Гильберта (первое издание вышло в свет в году), где впервые (хотя и на примере геометрии) он был представлен во всех фазах своего логического развития" (, с. Аксиоматика Д. Гильберта является крайне абстрактной. Наиболее ярко это отражено в первых строках "Оснований геометрии": "Мы мыслим три различные системы вещей: вещи первой системы мы называем точками и обозначаем А, В, С, .