Профессионально-ориентированная методическая система обучения основам математической логики и теории алгоритмов учителей математики в педагогических вузах

• Автор: Игошин, Владимир Иванович
• Шифр специальности: 13.00.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 366 с.

Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.

2.2.2. Углублнный курс математической логики и теории алгоритмов

Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.

2.2.3. Математическая логика и теория алгоритмов в системе подготовки учителей математики в классических университетах

Содержание. Средства обучения. Сочетание форм обучения.

2.2.4. Обучение школьников основам математической логики и теории алгоритмов

Содержание. Средства обучения. Формы обучения.

2.3. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ФОРМИРОВАНИЮ СОДЕРЖАНИЯ И МЕТОДИКЕ ИЗЛОЖЕНИЯ ОСНОВ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛОГИКИ

2.3.1. Вопросы методики обучения основам алгебры высказываний

Высказывания и операции над ними. Формулы алгебры высказываний. Тавтологии алгебры высказываний. Логическая равносильность

формул. Нормальные формы для формул алгебры высказываний. Логическое следование.

2.3.2. О ДРУГИХ РАЗДЕЛАХ КУРСА
Алгебра высказываний. Булевы функции. Формализованное исчисление высказываний. Логика предикатов. Аксиоматические теории. Формальные аксиоматические теории. Основы теории алгоритмов. Математическая логика и компьютеры, информатика, искусственный интеллект.
Глава III . ЛОГИКА МАТЕМАТИЧЕСКИХ КУРСОВ ПЕДВУЗА ЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВАНИЯ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
3.1. ОСНОВНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ, ЛЕЖАЩИЕ В ОСНОВЕ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ, И ИХ СВОЙСТВА ОСНОВАНИЯ И МЕТАМАТЕМАТИКА ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
3.1.1. Математическая логика и геометрия
Понятие доказательства фундаментальная составляющая аксиоматической теории. Основные этапы развития аксиоматического метода в науке и учения об обосновании геометрии. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Гильберта. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Гильберта. Построение евклидовой геометрии на основе системы аксиом Вейля. Свойства аксиоматической евклидовой геометрии, построенной на основе системы аксиом Вейля. От геометрии Евклида к геометрии Лобачевского.
3.1.2. Математическая логика и алгебра
Математическая логика как алгебраическая наука. Математическая
логика в педвузовском курсе алгебры и теории чисел. Что и как мы доказываем в школьном курсе алгебры Аксиоматическое построение числовых систем и свойства этих аксиоматических теорий. Система натуральных чисел. Кольцо целых чисел. Поле рациональных чисел. Поле комплексных чисел. О дальнейших обобщениях понятия числа.
3.1.3. Математическая логика и математический анализ
Аксиоматическая теория действительных чисел фундаментальная
основа математического анализа. Другие аксиоматические теории, лежащие в основе математического анализа. Нестандартный подход к математическому анализу как синтез логики и анализа.
3.1.4. Математическая логика и другие курсы педагогического вуза
Математическая логика и психологопедагогические основы обучения математике. Математическая логика и методика преподавания математики. Математическая логика и ИСТОРИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ МАТЕМАТИКИ.
3.2. ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ АКСИОМАТИЧЕСКИЕ ТЕОРИИ, СВЯЗАННЫЕ С ЛОГИКОЙ И ШКОЛЬНЫМ КУРСОМ МАТЕМАТИКИ
3.2.1. Аксиоматическое построение канторовской наивной теории множеств
Построение выводов доказательств из систем аксиом. Равносильность систем аксиом. Непротиворечивость систем аксиом. Независимость систем аксиом. Категоричность систем аксиом.
3.2.2. О теории мощностей множеств
Равномощные множества и мощность множества. Счтные множества. Множества разной мощности. Континуальные множества. Последовательность ряд кардинальных чисел. Арифметика кардинальных чисел. Конти ну умгипотеза.
3.2.3. К ТЕОРИИ УПОРЯДОЧЕННЫХ МНОЖЕСТВ
Понятие упорядоченного множества. Свойства элементов и подмножеств упорядоченного множества. Плотные и непрерывные упорядоченные множества. Ещ три условия для упорядоченных множеств. Вполне упорядоченные множества. Гомоморфизмы, изоморфизмы и вложения упорядоченных множеств. Рештки как упорядоченные множества. Рештки как алгебры. Примеры решток. Булевы алгебры. Булевы алгебры и математическая логика.
3.2.4. Аксиоматизация понятия величины
Аксиоматика системы положительных скалярных величин. Величины и числа. Непротиворечивость аксиоматической теории положительных скалярных величин. Категоричность аксиоматической теории положительных скалярных величин.
3.2.5. Аксиоматическое построение теории аристотелевых силлогизмов
Первоначальные понятия, аксиомы и правила вывода. Первые следствия из аксиом. Вывод аристотелевых силлогизмов.
3.2.6. Взгляд НА основания стереометрии с теоретикомножественной точки зрения
3.3. ЛОГИЧЕСКИЕ ХХБЕННОСТИ ИЗЛОЖЕНИЯ НЕКОТОРЫХ ВОПРОСОВ ШКОЛЬНОГО КУРСА МАТЕМАТИКИ
3.3.1. Логика равносильных преобразований уравнений и неравенств при их решении
Рациональные неравенства. Иррациональные неравенства. Логарифмические неравенства. Неравенства, содержащие модули. Уравнения, содержащие модули.
3.3.2. О логике определений, теорем и доказательств в курсах АЛГЕБРЫ И АНАЛИЗА
О формулировках определений основных понятий и теорем математического анализа. Необходимые и достаточные условия. Множества и логика в анализе.
3.3.3. О ЛОГИКЕ РЕШЕНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ
Аксиоматический аспект. Анализ и доказательство в процессе решения. О логике алгебраического метода. Логическая схема применения геометрических преобразований.
3.3.4. О ЛОГИКЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОПРЕДЕЛЕНИЙ, ТЕОРЕМ И ДОКАЗАТЕЛЬСТВ
Существование и единственность нулевого и противоположного векторов. Линейная зависимость и линейная независимость векторов. Внутренняя и граничная точки геометрической фигуры. Признак равенства нулю смешанного произведения трх векторов. О составлении треугольника из трх отрезков. Логические аспекты теории трхгранных углов. Доказательства и классификации с иомощыо разбора случаев.
Заключение
Список литературы


И. слова мне не позволили бы понять, правилен ли силлогизм или ложен, а с помощью интерпретации, аналогичной интерпретации Эйлера, пользуясь, однако, не кругами, а какимито пятнами неопределнной формы, так как для того, чтобы представить себе эти пятна находящимися одно внутри или вне другого, я не должен их видеть имеющими строго определнную форму. Таким образом, знаки и образы в процессе мышления дают необходимую поддержку для мысли. Мысль творческая, внутренняя охотно использует такие знаки, среди которых могут оказаться, в частности, и слова. Но чаще эти знаки отличны от слов. Они могут быть как стандартизированными например, какието математические знаки, так и индивидуальными, употребляемыми постоянно обычно или эпизодически. Математики хорошо знают, сколь важную роль для организации и направления мыслительного процесса играет продуманная и рациональная система обозначений. Итак, мысль, новорожднная в глубинах бессознательного, появилась в области сознания и должна быть выражена с помощью слов для того, чтобы быть переданной сообщнной другим людям. У многих людей здесь возникают определнные трудности по переводу в словесную форму имеющихся у них мыслей. Эти трудности в немалой степени проистекают именно из того обстоятельства, что процесс мышления обходится без слов, а процесс выражения результатов мышления требует установления определнного понимаемого другими соответствия между вашими мыслями и общепринятыми знаками. Более того, наличие этих трудностей в известной мере служит ещ одним подтверждением того, что мышление и язык не связаны неразрывно друг с другом, они не суть одно и то же, что мышление существует отдельно от языка, а язык подключается к процессу мышления лишь на определнном этапе. По этому поводу Адамар признатся 2, с. Мне трудно прочесть лекцию на любую тему, кроме математической, если я не написал е целиком единственный способ избежать постоянного и мучительного колебания в выражении мыслей, которые для меня совершенно ясны. От себя добавлю, что прежде чем прочитать лекцию и на математическую тему, я должен написать е достаточно подробно на бумаге. Интересно в этом отношении проанализировать одну мысль великого немецкого поэта И. В.Гте, сообщнную им в Фаусте чЛ, которая в переводе Б. Л.Пастернака звучит так Бессодержательную речь всегда легко в слова облечь. В более дословном подстрочном переводе с немецкого эта мысль звучит так Ибо, где не хватает понятий, там вовремя словечко вставят. Мы проинтерпретировали бы эту мысль Гте так отсутствие мыслей всегда лег ко прикрыть словами. При переходе от мыслей к словам возникает также и проблема правильной передачи на языке той мысли, которая родилась в сфере бессознательного и перешла в сферу сознательного. Процесс уточнения словами бессознательных идей и мыслей связан с немалым риском исказить эти идеи и мысли. Я, как и большинство учных, пишет Адамар 2, с. Так, немецкий философ А. Шопенгауэр утверждал Мысли умирают в тот момент, когда они воплощаются в слова. Выдающийся русский поэтфилософ Ф. И.Тютчев в поэтической форме выразил сво отношение к проблеме взаимоотношения между мышлением и языком. Мысль изречнная есть ложь. Взрывая, возмутишь ключи, Питайся ими и молчи. Лишь жить в себе самом умей Есть целый мир в душе твоей. Стихотворение составлено из двух планов. В первом ставится проблема внутреннего мысленного мира человека и его взаимоотношения с миром внешним, полным наружного шума. Во втором плане датся совет, как жить Молчи, скрывайся и таи и чувства и мечты свои. Лишь жить в себе самом умей. Этот совет вытекает из центрального тезиса первого плана Мысль изречнная есть ложь. Оставим в стороне проблему второго плана. Обратимся, на наш взгляд, к центральной идее стихотворения, выделенной нами курсивом Мысль изречнная есть ложьГ Конечно, сказано поэтически резко, но ввиду наших предыдущих рас. Перевод мыслей в словесную форму невозможен таков вердикт этого поэтического образа. Но это лишь первый и поверхностный взгляд на тот способ, каким указанный вердикт доносится до читателя этим стихотворением. С помощью простого прочтения мы обнаруживаем лишь попытку словесно вербально донести до нас указанную мысль. Поразительно то, что эта вербальная попытка доносит до нас указанную мысль и на неком более глубоком уже не словесном уровне.