Определение динамических характеристик пластинок с комбинированными граничными условиями с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы

• Автор: Сенин, Максим Андреевич
• Шифр специальности: 05.23.17
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Орел
• Количество страниц: 207 с.

1.1 Основные методы определения частот собственных колебаний

пластинок

1.1.1 Дифференциальное уравнение свободных колебаний

пластинок

1.1.2 Потенциальная энергия при свободных колебаниях пластинок.

1.1.3 Точные методы решения задач

1. 1.4 Вариационные методы решения задач

1.1.5 Численные методы.

1.1.6 Г соме трические методы

1.2 Краткий исторический обзор работ по динамике пластинок

1.2.1 Приближенные методы.

1.2.2 Геометрические методы
1.3 Теоретические основы геометрических методов определения
собственных частот колебаний пластинок.
1.3.1 Интегральная характеристика формы плоской области.
Коэффициент формы
1.3.2 Геометрические преобразования плоских областей.
1.3.3 Изопериметрический метод ИЗПМ
1.3.4 Метод интерполяции но коэффициенту формы МИКФ
1.4 Основные недостатки геометрических методов и перспективы
их развития
1.5 Обоснование выбора темы исследования.
2 МЕТОД ИНТЕРПОЛЯЦИИ ПО КОЭФФИЦИЕНТУ ФОРМЫ
2.1 Функциональная связь между основной частотой колебаний пластинок и коэффициентом их формы
2.2 Приведение некоторых известных решений к изопериметрическому виду
2.3 Основные изопериметрические теоремы в задачах динамики пластинок.
2.4 Методика определения частот колебаний пластинок с
однородными граничными условиями с помощью МИКФ
2.4.1 Выбор геометрических преобразований.
2.4.2 Выбор опорных решений.
2.4.3 Построение аппроксимирующих граничных кривых со .
2.4.4 Выбор аппроксимирующих функций для решений,
объединяющих ограниченное множество форм пластинок
2.4.5 Методика решения конкретных задач.
2.4.6 Примеры расчета пластинок с однородными граничными
условиями
3 РАСЧЕТ ПЛАСТИНОК С КОМБИНИРОВ I ШЫМИ
ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ.
3.1 Треугольные пластинки.
3.1.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы для треугольных пластинок при аффинных преобразованиях
3.1.2 Изопериметрические теоремы
3.1.3 Выбор аффинных преобразований.
3.1.4 Решения для треугольных пластинок с однородными
граничными условиями, полученные в исследованиях Коробко и В.В. Гефеля
3.1.5 Решения для треугольных пластинок с комбинированными граничными условиями, полученные в исследованиях Коробко и В.В. Гефеля.
3.1.6 Решения для треугольных пластинок с однородными
граничными условиями.
3.1.7 Решения для треугольных пластинок с комбинированными
раничньми условиями
3.2 Параллелограммные пластинки
3.2.1 Графическая интерпретация изменения коэффициента формы
для параллелограммных пластинок при аффинных
преобразованиях
3.2.2 Изопериметрические теоремы.
3.2.3 Решения для прямоугольных пластинок с однородными
граничными условиями, полученные в исследованиях
Коробко, Н.С. Малинкина и Муромского
3.2.4 Решения для прямоугольных пластинок с однородными
граничными условиями.
3.2.5 Решения для прямоугольных пластинок с комбинированными
граничными условиями.
3.2.6 Решения для ромбических пластинок с однородными
граничными условиями, полученные в исследованиях
Коробко, Н.С. Малинкина и Н.С. Муромского
3.2.7 Ромбические пластинки с однородными граничными
условиями.
3.2.8 Ромбические пластинки с комбинированными раничньми
условиями.
3.2.9 Решения для параллелограммных пластинок с однородными
граничными условиями, полученные в исследованиях
Коробко, Н.С. Малинкина и Муромского.
3.3 Трапециевидные пластинки
3.3.1 Коэффициент формы для трапеций
3.3.2 Изопериметрические теоремы
3.3.3 Методика и алгоритм использования МИКФ
3.3.4 Примеры расчета трапециевидных пластинок.
3.3.5 Решения для трапециевидных пластинок с однородными
граничными условиями, полученные в исследованиях Коробко.
3.4 Пластинки в форме правильных фигур.
3.4.1 Расчет пластинок в форме правильных фигур
3.4.2 Расчет шарнирно опертых пластинок в форме правильных
3.4.3 Расчет жестко защемленных пластинок в форме правильных
3.4.4 Расчет пластинок в форме правильных фигур
комбинированными граничными условиями
3.5 Определение высших частот колебаний пластинок с помощью
3.5.1 Основные понятия.
3.5.2 Ромбические пластинки
3.5.3 Параллелограммные пластинки
3.5.4 Трапециевидные пластинки.
4 Разработка алгоритма и программного комплекса Определение
основной частоты колебаний четырехугольных и треугольных пластинок с помощью метода интерполяции по коэффициенту формы
4.1 Основные положения.
4.2 Разработка алгоритма.
4.3 Разработка программного комплекса
4.3.1 Треугольные пластинки
4.3.2 Прямоугольные пластинки
ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


При нахождении приближенного решения, которое заключается в нахождении экстремума определенного интеграла, он был использован прямой путь нахождения разрешающей функции. Метод Ритца дает приближение искомой функции сверху. Общая методика решения дифференциальных уравнений вариационными методами заключается в следующем. Функция, которую необходимо найти, заменяется приближенной аналитической зависимостью. Эта зависимость должна быть выбрана таким образом, чтобы было наименьшим отклонение от истинных значений функции. Выбранная функция должна удовлетворять заданным граничным условиям и дифференциальному уравнению. Уравнение полной потенциальной энергии пластинки 1. В настоящее время признано большое практическое значение вариационных методов. Актуальной проблемой является их дальнейшее развитие и совершенствование. Метод конечных разностей МКР один из наиболее эффективных среди приближенных численных методов. Этот метод называют также методом сеток. При решении задачи методом конечных разностей проводится замена непрерывной области дискретной. Далее производные, которые входят в дифференциальное уравнение, заменяются приближенными выражениями в виде конечных разностей. При этом решение дифференциального уравнения 1. Неизвестными в этой системе являются значения функции в узловых точках. В теории упругости известно большое количество формул для аппроксимации производных методом конечных разностей. Среди них формулы центральных разностей получили наибольшее распространение. При их применении получаются результаты с достаточно малой погрешностью. Точность получаемого решения повышается при уменьшении шага сетки. В расчетной практике метод конечных разностей нашел широкое применение. Это стало возможным в связи с быстрым развитием вычислительной техники. Метод конечных элементов. К приближенным численным методам относится метод конечных элементов. При его применении осуществляется замена системы с бесконечно большим числом степеней свободы на систему с конечным числом степеней свободы. Распределенная масса каждого элемента меняется на узловую. При этом должно соблюдаться условие, при котором возможные работы распределенных и сосредоточенных инерционных сил равны. Рассматриваемая система разбивается на отдельные элементы конечных размеров. Далее исследуется напряженнодеформированное состояние полученных элементов, к которым приложена внешняя нагрузка. Так же учитывается взаимодействие между соседними элементами и перемещения, которые им соответствуют. На основе равенства перемещений и деформаций в узлах происходит объединение полученных элементов в заданную систему. Затем необходимо найти перемещения узлов и усилия в узловых сечениях. Расчет полученных элементов можно осуществить с помощью метода перемещений. В этом случае перемещения этих узлов принимаются за неизвестные. При решении задачи методом конечных элементов наибольшее распространение получил метод перемещений, так как в канонических уравнениях метода перемещений матрица коэффициентов при неизвестных составляется проще, чем в методе сил. А так же кинематически определимую систему легче получить, чем статически определимую при построении основной системы из многоэлементной конструкции. Так же для расчета полученных элементов можно применить метод сил. В этом случае силы взаимодействия в узлах соединения элементов принимаются за неизвестные. Актуальной проблемой является разработка и совершенствование приближенных методов решения задач теории упругости. При этом большое значение имеет развитие специальных приемов и способов, благодаря которым удается избежать решения дифференциальных уравнений 8. Геометрические методы занимают особое место среди приближенных методов. Большое внимание ученых всегда уделялось возможности с помощью геометрических методов решать разнообразные физические задачи. Таким образом, в результате геометрических преобразований рассматриваемого объекта и элементарных расчетов удается найти решение для определения интегральных физикомеханических характеристик. В этом заключается преимущество геометрических методов перед физическими.