Численный анализ кинетической модели многомерной диффузии

• Автор: Яровикова, Ирина Валерьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 108 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение

Глава 1. Общее описание модели

1.1. Постановка задачи IО

1.2. Преобразование ФурьеЛ ап ласа

1.3. Баллистический режим

1.4. Выводы

Глава 2. Метод моментов

2.1. Моменты пространственного распределения

2.2. Метод стохастических соотношений. Общий случай

2.3. Метод стохастических соотношений. 1 ормальный случай

2.4. Некоторые частные случаи
2.5. Восстановление плотности распределения методом моментов
2.6. Выводы
Глава 3. Нормальная кинетика
3.1. Уравнение Больцмана
3.2. Нормальная диффузионная асимптотика
3.3. Преддиффузионное поведение моментов
3.4. Преддиффузионное поведение распределения
3.5. Скользящий скейлинг
3.6. Асимптотический анализ моментов
3.7. Выводы
Глава 4. Аномальная кинетика
4.1. Аномальная кинетика с ловушками показательного типа а 1
4.2. Аномальная кинетика с ловушками показательного типа а 1
4.3. Аномальная кинетика с ловушками степенного типа
4.4. Аномальная кинетика с пробегами и ловушками степенных типов
4.5. Выводы
Заключение
Литература


Общим для всех режимов, описываемых уравнением (1), является нефизическое поведение в области малых времен, отмечавшееся в свое время еще Эйнштейном: частица, находившаяся в начале координат в начальный момент времени / = 0, в сколь угодно близкий к нем)' момент I > 0 может быть обнаружена сколь угодно далеко от начала координат. V. Эта модель, которую мы будем называть кинетической, свободна от указанного выше дефекта: в любой момент времени ( частица не может быть обнаружена за пределами Лг-мерного шара радиуса V/. При надлежащем (показательном) выборе распределений случайных величин ^ и т (назовем такую среду нормальной) она включает в себя односкоростную модель переноса нейтронов с учетом запаздывающих нейтронов, а после выключения ловушек (т = 0) приводит к стандартной односкоростной модели переноса [-]. Стационарные версии этих моделей широко используются в теории космических лучей [-], ядерных реакторов [-], а также в теории прохождения излучения через вещество [-]. При степенном характере распределений % (фрактальность среды) и т (память среды) эта модель асимптотически (при /-><*>) выходит на аномальный диффузионный режим, описываемый уравнениями (1), (2). В настоящее время для кинетической модели известны лишь качественные результаты, относящиеся к асимптотическому поведению ширины диффузионного пакета, определяемой средним квадратом координаты [,]. Ни высших моментов, ни, тем более, самих распределений в работах, посвященных аномальной кинетике с конечной скоростью, не найдено. Целью диссертационной работы является вычисление высших пространственных нестационарных моментов плотностей распределений и исследование с их помощью пространственных распределений в кинетических моделях многомерной диффузии. Исследовать пространственные распределения в режимах нормальной диффузии, супердиффузии и субдиффузии, выявить эффект влияния конечной скорости свободного движения частицы между столкновениями. Впервые найдены общие выражения для трансформант Лапласа всех моментов в многомерной аномальной кинетике с произвольными независимыми законами распределения свободных пробегов частицы р{? Установлено влияние эффекта конечной скорости свободного движения на форму диффузионного пакета в зависимости от режима диффузии. Впервые установлено свойство, названное скользящим скейлингом: учет времени в коэффициенте диффузии позволяет существенно расширить область применимости предельных распределений. Разработанная в математическом пакете Maple V Release 4 программа позволяет моделировать процессы переноса как в однородных, так и в неоднородных средах с различными заданными характеристиками. Найденные в работе распределения могут быть использованы для феноменологического описания диффузии в пористых средах, распространения космических лучей в Галактике, решения некоторых задач физики плазмы и т. Точные выражения для трансформант Лапласа нестационарных пространственных моментов обобщенной теории переноса. Наличие конечной скорости v свободного движения частицы уменьшает число возможных (при v = oo) диффузионных режимов с пяти до четырех с изменением их областей на диаграмме в плоскости параметров «р. Учет влияния конечной скорости в случае нормальной диффузионной асимптотики приводит к уменьшению коэффициента диффузии при сохраняющейся форме распределения. В случае субдиффузии эффект конечной скорости не влияет на форму асимптотического распределения частиц: при больших временах не имеет значения, с какой - конечной или бесконечной - скоростью движутся частицы в промежутках между пребыванием в ловушках. Само распределение описывается дробно-устойчивым распределением. В случае супердиффузии (а>1) конечная скорость замедляет расширение диффузионного пакета частиц, однако форма распределения по-прежнему описывается устойчивым законом. При а < 1 ситуация противоположная: кинематическое ограничение становится доминирующим фактором в формировании асимптотического распределения и найденное в настоящей работе распределение имеет совершенно иной вид, чем в случае а > I. Свойство скользящего скейлинга диффузионных процессов существенно расширяет область применимости предельных распределений.