Нерегулярные эллиптические краевые задачи

• Автор: Бояркин, Дмитрий Иванович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Саранск
• Количество страниц: 100 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава I. Многообразия первого класса

1. Некоторые сведения из теории эллиптических краевых задач.

2. Постановка нерегулярной эллиптической краевой задачи и примеры .

3. Постановка краевой задачи для многообразия касания первого класса

4. Вспомогательные построения и утверждения.

5. Априорные оценки для решений краевой задачи

6. О гладкости решений краевой задачи.

7. О существовании решения краевой задачи.

Глава II. Многообразия второго и третьего классов.

8. Многообразие касания второго класса
9. Многообразие касания третьего класса .
Список литературы


Глава I. Некоторые сведения из теории эллиптических краевых задач. Постановка нерегулярной эллиптической краевой задачи и примеры . Вспомогательные построения и утверждения. О гладкости решений краевой задачи. О существовании решения краевой задачи. Глава II. Многообразия второго и третьего классов. Многообразие касания третьего класса . Ь - эллиптический оператор порядка 2т с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами в С , В. Г, //(х, ? Предположим, что операторы Ь9 В. Шапиро - Лопатинского. Если поле Р ни в одной точке не касается границы Г , то это условие не нарушается и эта задача является эллиптической краевой задачей. В случае, когда поле Р выходит в касательную плоскость к границе Г, то свойства задачи зависят от структуры векторного поля р . Пусть поле Р касается гран и цы Г вдоль {п — 2) -мерного гладкого многообразия Гп 2. Обозначим через ? Р и единичного вектора внешней нормали к границе Г. Если в некоторой окрестности любой точки Р Є Г" 2. Функция ? Гп 2 принадлежит к первому классу. Если напротив, функция ? Гп 2 отнесем ко второму классу. Р € Гп~ 2 , ТО г"-: принадлежит к третьему классу. Зависимость свойств решений от природы касания векторного поля границы и исследование этих свойств, впервые было проделано R. Borrelli в работе []. Разными методами для эллиптического оператора второго порядка такого рода задачи исследовались в работах Бицадзе А. В. [9], [], Янушаускаса А. Малютова М. Б. [], Сакса P. C., Мазьи В. Г. [], [], и в ряде других работ. Hormander L. В этой работе установлена связь между задачей с косой производной и теорией псевдодифференциальных операторов. В частности были указаны условия, при которых пседодифференциальный оператор является субъэллиптическим оператором. В работе Егорова Ю. В. - Кондратьева В. А. [] при исследовании задачи с косой производной для эллиптического оператора второго порядка были предложены методы, которые основывались на теории эллиптических краевых задач и геометрии гладких многообразий. Эти методы позволяют исследовать краевые задачи для эллиптического оператора произвольного порядка при общих граничных условиях. Теоретическая и практическая ценность работы определяется тем, что результаты работы в какой-то мере восполняют пробелы в исследовании задачи с косой производной для эллиптического оператора произвольного порядка. Подобные задачи возникают при моделировании • явлений упругости, фильтрации и многих других физических процессов. О структуре диссертации. Работа состоит из введения, двух глав и списка литературы. Принята сквозная нумерация пара1рафов. Теоремы, леммы, следствия, предложения и т. Внутри каждого параграфа - своя нумерация формул. Символы [ ] , означаю! Краткое изложение результатов. В первом параграфе приводятся некоторые необходимые для дальнейшего факты из теории эллиптических краевых задач. В этом же параграфе приводятся примеры. В третьем параграфе ставиться краевая задача, когда многообразия касания относятся к первому классу. Г, У = ! Четвертый параграф посвящается вспомогательным построениям и утверждениям. Определим многообразия Гп 1 = Гп 1 Гп 9 для / = 9. Предложение 4. Гп /+! Предложение 4. С°°(? Х9. П9 удовлетворяющая условиям предложения 4. Ы(х) будет равна 1 в некоторой d - окрестности многообраз Гп 1 и равна 0 вне d - окрестности Гп 1. Лемма 4. Для любого ? Дг,,. С/”-' = С/ П . На основе этих утверждений в параграфе 5 доказаны леммы о локальных оценках для решений краевой задачи. Лемма 5. Пусть (/ окрестность точки РеГп~{М / = 1,. ЕКV-”(*. А:,у = 1,. С/” я - пересечение области ? Nn 4, а ? UГNn 1 . С - константа, не зависящая от и. Для к <п — 1. Пусть окрестности точки Р € Г"ч'+1). Для г' = 1,. Теперь пусть I = К . В этом случае поле М , определенное на многообразие Гп к , касается Гп~к вдоль многообразия Гп~ы , размерность Гп к 1 будет > 2 . На Гп к 1 было задано дополнительное условие (3. Лемма 5. Пусть ? Р € Гп к 1 , диметра (I. Если с! Н*+№) 5 равна нулю вне ? II РЯ~* ^ ~ 1 ^ . Я~(