Технология построения неструктурированных сеток и монотонная дискретизация уравнения диффузии

• Автор: Данилов, Александр Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Содержание
Введение .

Обзор методов построения сеток и комплексов программ

Глава 1. Построение двумерных треугольных сеток

1.1. Обозначения

1.2. Алгоритм продвигаемого фронта

1.3. Влияние вычислительных погрешностей

1.4. Конечность работы алгоритма

1.5. Скорость работы алгоритма продвигаемого фронта.

1.6. Улучшение качества полученной сетки

1.7. Результаты экспериментов.

1.8. Выводы к первой главе
Глава 2. Построение поверхностных сеток
2.1. Представление поверхности
2.2. Взаимодействие с геометрическим ядром САПР.
2.3. Алгоритм продвигаемого фронта .
2.4. Результаты экспериментов.
2.5. Выводы к второй главе
Глава 3. Построение трхмерных сеток.
3.1. Алгоритм продвигаемого фронта .
3.2. Устойчивый метод на основе тетраэдра за ции Делоне.
3.3. Улучшение качества полученной сетки
3.4. Результаты экспериментов.
3.5. Выводы к третьей главе.
Глава 4. Сетки с многогранными ячейками и монотонная дискретизация уравнения диффузии.
4.1. Уравнение диффузии
4.2. Монотонная нелинейная схема на основе метода конечных объмов .
4.3. Схема дискретизации и анализ е монотонности.
4.4. Результаты экспериментов
4.5. Моделирование стационарного распределения интерферона в
лимфатическом узле
4.6. Выводы к четвртой главе
Заключение.
Литература


Работа над диссертацией была частично поддержана грантами РФФИ 9-а, 5-а, программой Президиума РАН ‘'Фундаментальные науки - медицине”, федеральной целевой программой “Научные и научнопедагогические кадры инновационной России”, а также грантом Upstream Research Center, ExxonMobil corp. В диссертационной работе будем рассматривать только конформные сетки, любые два элемента которых либо не имеют общих точек, либо имеют ровно одну общую вершину, либо одно общее ребро, либо одну общую грань. Важным примером неконформных сеток могут служить сетки типа восьмеричное дерево (см. Рис. На плоскости можно выделить два класса сеток - треугольные и четырехугольные. В трёхмерном пространстве выделим три класса сеток - тетраэдральные, треугольные призматические, и гексаэдральные. При фиксированном количестве вершин Аги сетки выполняются следующие оценки на количество элементов, Ае, и граней, А/, в сетке. Для неструктурированных тетраэдральных сеток, используемых в приложениях. Ае % 5. Ау, А/ « Ау. Для треугольных призматических сеток Ае ^ 2Ау, А/ ~ 5Ау, для гексаэд-ральных Ае ~ Ау, А/ ~ ЗАу. Рис. Сетка типа восьмеричное де! С точки зрения количества элементов и граней гексаэдральные сетки являются наиболее удобными, так как получающиеся при дискретизации на них матрицы будут иметь меньше ненулевых значений. С точки зрения автоматического построения сеток для сложных областей, гексаэдральные сетки являются самыми неудобными. Существующие на сегодняшний день методы построения сеток, такие как метод отображений, метод продвигаемого фронта, методы заметания (sweeping) и замощения (paving) области, методы наос-нове восьмеричных деревьев (octree), применимы либо для достаточно узкого класса областей, либо требуют ручного вмешательства в процесс построения сетки. Призматические сетки широко применяются в геофизических приложениях в задачах со слоистыми областями. В таких областях призматическую сетку можно представить как тензорное произведение неструктурированной треугольной сетки в плоскости OXY и одномерной сетки вдоль OZ. В Институте вычислительной математики РАН В. Н. Чугуновым разработан генератор призматических сеток []. Для построения начальной треугольной сетки используется разработанный автором диссертационной работы генератор треугольных сеток из библиотеки программ Ani2D. В будущем планируется включение этого призматического генератора в состав Ani3D. Тетраэдральные сетки содержат большое количество ячеек и граней, что увеличивает количество ненулевых значений в матрице линеаризованной системы уравнений. С другой стороны, с помощью тетраэдральных сеток можно строить расчётные сетки в сколь угодно сложных областях. В этой диссертационной работе мы подробно остановимся именно на технологии построения тетраэдральных сеток. Перспективным направлением видится создание автоматической надёжной технологии построения гибридных сеток для сложных областей, использующей в качестве ячеек гексаэдры, призмы, пирамиды и тетраэдры. Параллельно с разработкой методов построения гибридных сеток необходима разработка схем дискретизации на новых сетках. В диссертационной работе будет предложена новая монотонная схема дискретизации уравнения диффузии на основе метода конечных объёмов на сетках с многогранными ячейками. Проблемам построения сеток уделяется большое внимание, постоянно выходят научные публикации, книги, сборники |б9], проводятся ежегодные конференции. Наиболее известные международные конференции, посвящённые проблемам построения сеток, проходят в США - International Meshing Roundtable, н в России - “Численная геометрия, построение сеток и высокопроизводительные вычисления” (NUMGRID), результаты работ которой публикуются в специальных выпусках Журнала вычислительной математики и математической физики. Сделаем краткий обзор основных методов и наиболее известных комплексов программ для построения треугольных и тетраэдральных сеток. Краткий обзор имеющихся схем дискретизации уравнения диффузии будет сделан в Главе 4. Существует два основных метода построения треугольной сетки на плоскости: 1) метод продвигаемого фронта [, ); 2) метод построения триангуляции Делоне [, ]. Идея первого метода будет раскрыта в Главе 1, подробности использования второго метода хорошо представлены в [].