Математические модели биологических систем, описываемые уравнениями "реакция-диффузия" и "реакция-диффузия-конвекция"

• Автор: Лобанов, Алексей Иванович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 236 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

Современное состояние проблемы.

ГЛАВА 1. О ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДАХ, ПРИМЕНЯЕМЫХ ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ

БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ.

1Л Об устойчивости нелинейных разностных схем

1.2. О свойствах разностных схем для решения модельного

квазилинейного уравнения теплопроводности

1.3. О численном решении систем уравнений типа реакция

диффузия

Заключение к Главе 1.

ГЛАВА 2. ПОПУЛЯЦИОННЫЕ МОДЕЛИ И КВАЗИЛИНЕЙНЫЕ
УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
2.1 Модели одной популяции. Автомодельные решения
2.2 Модель конкурирующих популяций.
2.3 Модель формирования зон роста у растений .
Заключение к Главе 2.
ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКОЙ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СВЕРТЫВАНИЯ КРОВИ
I VI.
3.1 Двухавтоволновая модель динамики свертывания крови.
3.2 Результаты численных исследований в 1 случае
3.3 Двумерные структуры в модели свертывания крови
3.4 Резонансные явления в системе типа реакция диффузия.
3.5 Качественное исследование начального этапа формирования
структур в модели свертывания крови.
3.6 Моделирование роста оторвавшегося тромба в пристеночном
Заключение к Главе 3
ГЛАВА 4. ИССЛЕДОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ СВЕРТЫВАНИЯ КРОВИ С УЧЕТОМ ГИПОТЕЗЫ О
ПЕРЕКЛЮЧЕНИИ АКТИВНОСТИ ТРОМБИНА.
4.1 Модель динамики свертывания крови с учетом гипотезы о
переключении активности тромбина.
4.2. О существовании пространственнонеоднородных стационарных решений в модели динамики свертывания крови с
учетом гипотезы о переключении активности тромбина.
4.3. Об устойчивости пространственнонеоднородных стационарных решений в модели динамики свертывания крови с учетом гипотезы о
переключении активности тромбина.
Заключение к Главе 4.
ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ХИМИЧЕСКИХ РЕАКЦИЙ НА КЛЕТОЧНОЙ МЕМБРАНЕ С УЧЕТОМ
ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ
4.1 Математическая модель пространственновременных структур в системе реакциядиффузия при приложенном внешнем
электрическом поле.
4.2 Параме трический резонанс и формирование диссипативных структур в двухкомпонентной системе при воздействии
периодического электрического поля.
4.3 О границах применимости моделей
Заключение к Главе 5.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ. ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ
ЛИТЕРАТУРА


Предположения, что это, возможно, протеин С, не согласуются с некоторыми экспериментальными данными. Однако, двухавтоволновая модель является довольно простой и может быть легко изучена. Она послужила основой для ряда работ с участием автора диссертации по моделированию различных режимов структурообразования при свертывании крови [ -]. Отметим также качественное согласие полученных результатов данных расчетов с экспериментальными данными [, ]. Другие подходы но созданию упрощенного описания пространственно-временной структуры тромбообразования демонстрируют работы [, ]. В публикациях на основе анализа каскада системы свертывания и обработки большого массива экспериментальной информации приводится модернизированный вид упрощенной трехкомпонентной системы уравнений. Отметим, что и в случае двухавтоволновой модели [, -], и в случае модели [, ) наблюдается сложная пространственно-временная организация процесса, а сам процесс структурообразования отличается от описанного Тьюрингом. Одно из условий возникновения неустойчивости Тьюринга — наличие в системе активатора с малым коэффициентом диффузии и дальнодействующего ингибитора. В модели свертывания крови реагенты являются белковыми макромолекулами и экспериментальные данные говорят в пользу равенсгва их коэффициентов диффузии []. Случай возникновения диффузионной неустойчивости по Тьюрингу [5] наиболее полно исследован. Новый импульс изучению уравнений типа “реакция-диффузия’* дали работы школы И. Пригожина. В книге [] рассматриваются бифуркации в реакционно-диффузионной модели гипотетической химической системы — “брюсселятор”. При этом сконструированная Лефевром и Пригожиным модель сняла некоторые претензии со стороны химиков и биологов к модели диффузии морфогенов Тьюринга. Модель брюсселятора относиться к числу базовых моделей возбудимых сред []. Среди химических систем, в которых наблюдалось образование ДС, распространение химических волн или пространственно-однородные колебания, И. Пригожиным в [] отмечена хорошо известная реакция Белоусова-Жаботинского и приведена одна из ее возможных моделей — “орегонатор” []. Реакционно - диффузионные модели рассматриваются также в работах [, ] где, в частности, анализировалось влияние объемных сил на образование структур, например, в случае химических реакций в атмосфере, когда нельзя пренебречь силами тяжести. Другим важным частным случаем является рассмотрение заряженных объектов в электрическом поле при наличии также химических реакций. О задачах такого типа будет сказано ниже. Отметим также, что учет электрических взаимодействий существенен при рассмотрении задач агрегации тромбоцитов []. Известно также, что при переходе к рассмотрению систем уравнений более высокой пространственной размерности количество вариантов возможных стационарных структур и автоволновых режимов значительно увеличивается. Тот факт, что разнообразие решений в виде автоволн и ДС существенно возрастает при переходе к двумерным и трехмерным структурам, был отмечен в [] И. Пригожиным. В частности, в модели “брюсселятор” в двумерном случае один тип волн допускает зеркальную симметрию, а другой соответствует вращающимся волнам. Наряду с автволнами, стационарными структурами появляются спиральные волны (6, 7, , ], наблюдавшиеся в экспериментах но изучению реакции Белоусова - Жаботинского []. Большой интерес вызвало и обнаружение в активных средах, описываемых уравнениями типа реакция-диффузия локализованных подвижных образований (экситонов по А. Н. Заикину, []) и подвижных химических пятен, способных к делению [, ]. Рин-целя - Келлера. Эта система была также использована в статье [] для моделирования процессов распространения импульсов в нервном волокне. Интересно, что такие периодически делящиеся химические пятна наблюдались в экспериментах [] наряду с другими структурами, возникающими в результате потери устойчивости стационарного пространственно-однородного решения но сценарию Тьюринга [, ]. В численных расчетах делящиеся пятна обнаружены в модели простой системы (всего с двумя кинетическими параметрами) Дж.