Методы декомпозиции области для решения нестационарных задач увлажнения грунта

• Автор: Захаров, Петр Егорович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Якутск
• Количество страниц: 132 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Методы декомпозиции без налегания подобластей

1.1 Модельная задача

1.1.1 Постановка задачи

1.1.2 Аппроксимация по пространству

1.1.3 Схема с весами

1.1.4 Декомпозиция области

1.2 Декомпозиция явной схемы

1.2.1 Параллельный алгоритм

1.2.2 Сложность алгоритма

1.2.3 Эффективность параллельного алгоритма
1.3 Явно-неявные схемы
1.3.1 Явно-неявная схема с коррекцией
1.3.2 Факторизованная схема
1.3.3 Сходимость
1.3.4 Численные эксперименты
2 Методы декомпозиции с налеганием подобластей
2.1 Модельная задача
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Аппроксимация по пространству
2.1.3 Схема с весами
2.1.4 Операторы декомпозиции
2.2 Двухкомпонентная декомпозиция
2.2.1 Схема Дугласа-Рэкфорда
2.2.2 Факторизованные схемы
2.2.3 Сходимость факторизованных схем

2.2.4 Точность факторизованных схем
2.2.5 Симметричная схема покомпонентного расщепления
2.2.6 Факторизованная схема с другими операторами
2.3 Многокомпонентная декомпозиция
2.3.1 Схема покомпонентного расщепления
2.3.2 Аддитивно-усредненные схемы
2.3.3 Векторные аддитивные схемы
2.3.4 Асинхронные векторные схемы
3 Моделирование увлажнения грунта
3.1 Двумерная задача увлажнения плотины
3.1.1 Математическая модель
3.1.2 Дискретизация
3.1.3 Вычислительная реализация
3.1.4 Численное сравнение
3.2 Трехмерная задача увлажнения плотины
3.2.1 Математическая модель
3.2.2 Дискретизация
3.2.3 Вычислительная реализация
3.2.4 Численные результаты
3.3 Схема декомпозиции области для задачи увлажнения
3.3.1 Схема декомпозиции
3.3.2 Вариационная постановка
3.3.3 Численное сравнение
Заключение
Литература

Введение
В настоящее время сложилась новая технология научных исследований, которая базируется на исследовании прикладных математических моделей с помощью вычислительных средств (компьютеры и численные методы) [9, 17,32, 42,49,50,71,92]. Численное моделирование позволяет описать свойств исследуемого объекта с необходимой полнотой и детальностью на основе адекватных математических моделей.
Содержательные математические модели включают системы связанных друг с другом нестационарных нелинейных уравнений с частными производными, системы обыкновенных дифференциальных и алгебраических уравнений. Разработка вычислительных алгоритмов для прикладного математического моделирования базируется на глубокой теоретической и методической проработкой численных методов для базовых задач [23,51,61,68,75]. Для аппроксимации по пространству используются все основные технологии, связанные с разностной, конечно-объемной и конечно-элементной аппроксимацией [40,77,108]. Необходимо только иметь в виду, что, обычно, приходится решать задачи в многомерных областях со сложной геометрией. При приближенном решении нестационарных задач основное внимание должно уделяться разностным методам [24,36,46,52,54,57,62,72,78,84,93,95]. Проблемы применения конечно-элементных аппроксимаций при решении нестационарных задач обсуждаются в [47,96].
Теория численных методов решения краевых задач для уравнений с частными производными развивается в следующих основных направлениях:
• построение дискретных аналогов, наследующих основные свойства дифференциальной задачи;
• исследование устойчивости (корректности) разностной задачи;
• эффективная вычислительная реализация на современной вычислительной технике.
Исследование разностных схем для нестационарных задач базируется на использовании общей теории устойчивости (корректности) операторно-разностных

Рисунок 1.12: Зависимость от шага по пространству при а = 1/2.

Рисунок 1.13: Зависимость от размера подобластей при а = 1/2.