Исследование оптимальных планов эксперимента на основе функционального подхода

• Автор: Пепелышев, Андрей Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 150 с. : ил

Построение и анализ регрессионных моделей ость одна из важнейших методологий исследования объектов и систем различной природы. При построении моделей на основе экспериментальных данных существенную роль играет оптимальный выбор условий проведения экспериментов. Математическая теория планирования и анализа регрессионных экспериментов была развита во второй половине XX века усилиями многих зарубежных и отечественных ученых Дж. Элвинг, Г. Чернов, Дж. Кифер, Дж. Вольфовиц, Дж. Бокс, В. В. Налимов, Г. К. Круг, В. В. Федоров, О. М. Ермаков, М. Б. Малютов, В. П. Козлов и др В рамках этой теории весьма полно изучены линейные по параметрам модели с фиксированной областью планирования. Во многих случаях для стандартных областей планирования отрезок, гипершар и гиперкуб оптимальные планы найдены в явном аналитическом виде. Вместе с тем, задачи оптимального планирования эксперимента для нелинейных по параметрам моделей, моделей с переменной и нестандартной областью планирования, а. До сих пор аналитическое решение таких задач ограничивалось, в основном, простейшими моделями с двумятремя параметрами.


На основе этих результатов в диссертации численными методами осуществлено исследование эффективности локальнооптимальных планов по отношению к обычно используемым на практике планам в равноотстоящих точках. Показано, что локально оптимальные планы в этом смысле эффективнее локально оптимальных приблизительно в 1. Построены разложения точек локально оптимальных планов, рассматриваемых как функции некоторых параметров, в ряды Тейлора и исследована их чувствительность к выбору начальных приближений. Четвертая глава посвящена построению и исследованию локально оптимальных планов для оценивания точки экстремума квадратичной функции регрессии на единичном гипершаре и гиперкубе. Эта задача в одномерном случае была решена, в работе v, , , но метод этой работы но пригоден в многомерном случае. А положительно определенная к х к матрица, и ИЛ 7 , причем величина 7, а также элементы вектора и и матрицы А неизвестные параметры. В качество множества X рассматривается единичный отрезок при к 1, гипершар и гиперкуб. Ь Ъ, т. А2, умноженному на величину, заг висящую от плана и от Ь. В диссертации в явном виде построены локально оптимальные планы для случая гипершара. Для случая гиперкуба такие планы также найдены в явном виде, но при дополнительном условии, что Ь принадлежит вложенному гиперкубу с длиной ребра . При нарушении этого условия зависимость точек и весов планов от Ь носит весьма сложный характер. Эта зависимость для случая к 2 представлена в виде степенных рядов. В заключении сформулированы основные результаты диссертации. На практике мы часто сталкиваемся с ситуациями, когда нам требуется проанализировать функциональную зависимость между одной переменной у наблюдаемым откликом, измеряемой величиной и другой переменной х экспериментальными условиями, принадлежащей некоторой области X планирования эксперимента. Эта функция зависит от неизвестных значений параметров. Мьт измеряем значения функции в некоторых точках с тем, чтобы оценить неизвестные параметры. Во многих экспериментах эта функция измеряется только лишь с точностью до аддитивной случайной ошибки. В таких случаях эксперимент называется статистическим Ермаков, . Переходя от реальных экспериментов к математическому описанию, мы неизбежно приходим к математическим моделям эксперимента. Наука, занимающаяся проблемами, описанными выше, называется теорией оптимального планирования эксперимента. Прежде всего приведем ряд основных понятий и результатов необходимых для строгой постановки задачи оптимального планирования. Пусть результаты эксперимента уи , у л В. УФз,0 е, ,. XIу X условия проведения эксперимента точки некоторого множества планирования X, гх0 вещественная функция, 3 Д,. Зтт е О. Ег 0, Ее а2. Далее везде будем предполагать, что выполнены эти стандартные предположения относительно ошибок измерений. Также будем считать, что гх,3 известная функция. Цель эксперимента оценка истинного значения 0 вектора параметров
Функцию гх, 0 часто называют регрессионной моделью Ермаков, . Модель 1. ЗтЪх, где кх кгх9. Обычно предполагают, что функции Л1а,. Лта являются непрерывными и линейно независимыми функциями. Модели, для которых такое представление невозможно, называются нелинейными по параметрам. V . Дж. Кифером это понятие было обобщено. Х1 Л, 1. Х ф X, 1 Щ 1, Ы 0, п число различных точек в плане, X условия проведения эксперимента, Ш весовые коэффициенты. Федоров, РикеЬЖейп, . Выбор статистики 0 составляет предмет отдельной теории. Пусть оценивание производится по методу наименьших квадратов. Теорема 1. Пусть X, замкнутые ограниченные мноэюсства, функции ix, . X xi. У уь. ХТХУ1ХГУ 1. Доказательство этой теоремы можно найти в Рао, i, . Справедливо следующее обобщение теоремы 1. Теорема 1. Пусть выполнены предполооюе. X 6 6 являются замкнутыми и ограниченными. Функция 7х,р непрерывна на X х . Последовательность планов ,у слабо сходится к плану при У оо, где v точечный дискретный нормированный план. Величина xx, в ух, 2x равна нулю только при 3 ,3. Производные щ, 1 существуют и непрерывны. Истинное значение р вектора параметров является внутренней точкой . М0 М, 3 x x, x, x, 1. Р Р.