Численное решение сингулярных интегральных уравнений методом Монте-Карло в задачах механики

• Автор: Кучкова, Ирина Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 96 с. : ил

Содержание
Введение

1 Обзор литературы

1.1 Сингулярные интегралы

1.1.1 Обзор результатов

1.1.2 Основные понятия сингулярных интегралов

1.2 Метод статистического моделирования и краевые задачи. .

1.2.1 Идея метода МонтеКарло и его преимущества .

1.2.2 Применение метода статистического моделирования

при решениии краевых задач.

2 Статистические оценки для численного решения первой основной задачи теории упругости
2.1 Постановка задачи
2.2 Решение интегрального уравнения
2.3 Оценки, полученные методом статистического моделирования
2.4 Реализация алгоритма.
3 Статистические оценки для градиента решения в задаче Неймана
3.1 Вывод интегрального уравнения.
3.2 Исследование интегрального уравнения
3.3 Статические оценки для градиента.
3.4 Моделирования вихрей для решения уравнений Павьс
Стокса. Общая схема моделирования
3.5 Реализация алгоритма
3.6 Пробные расчеты.
Заключение
Литература


Определим основные цели работы —представление решений некоторых уравнений с сингулярным ядром в виде рядов многомерных интервалов, к которым применим метод статисти ческою модел ироваї шя. Исследование поведения этих решений в малых окрестностях границы области. Краткое содержание диссертации. В период главе диссертации даются основные понятия теории сингулярных интегралов и краткий обзор основных результатов, полученных предыдущими исследователями. Далее описываются основная идея метода Монте-Карло, его преимущества и применение для решения краевых задач, предложенное ранее в работах по этой тематике. Вторая. Ламе и построению статистических оценок с конечной дисперсией для этого решения. В разделе 2. Ищется решение нахождения вектора смещения для упругого изотропного тела, описывающего уравнениями Ламе в виде функционала, плотность которого удовлегворяет сингулярному интегральному уравнению. В разделе 2. Фредгольма. В разделе 2. Монте-Карло с ограниченой дисперсией для численного решения полученного уравнения. Стоит исследовать уменьшение дисперсии в дальнейшем. В разделе 2. II. Задастся несимметричное граничное условие. Приводятся графики результатов. В /третьей главе строятся статистические оценки дли градиента решения задачи Неймана для боле« широкого класса областей и применяются полученные оценоки при решении уравнений Навье-Стокса. Глава III условно состоит из двух частей. В первой части строятся статистические оценки для градиента, которые, в отличие от уже известных, не используют предположения о выпуклости области [] или ее гладкости []. Граница области предполагается состоящей из конечного числа кусков гладких кривых. В начале получено представление градиента достаточно гладкой гармонической функции через значения ее производных на границе. Затем на основе этого представления выводится интегральное уравнение для касательной производной на границе. Полученное уравнение преобразуется таким образом, чтобы в новом интегральном уравнении ядро и свободный член были ограничены (это удалось сделать только для случая, когда углы на границе являются прямыми). Решение преобразованною уравнения представляется по методу Фредгольма. Для этого представления строятся статистические оценки с ограниченной дисперсией. Полученные оценки с помощью интегрального представления, полученного в первом параграфе, затем используются для оценивания градиента функции внутри области. Заметим, что данная схема позволяет производить одновременное оценивание в любом количестве точек. Во второй части главы III приводится общий алгоритм метода моделирования вихрей для решения уравнений Навье-Стокса. В этом методе исходные уравнения приводятся к виду диффузионного движения распределения вихрей. Последнее аппроксимируется конечным набором вихревых элементов, которые диффундируют вдоль поля скоростей, порожденного самими этими элементами. При этом учитывается то условие, что поле скоростей нс может пересекать неподвижную границу. Именно это условие и выражается в виде некоторой задачи Неймана. Этот алгоритм был реализован и опробован на тестовых задачах. Моделировалось движение жидкости в каверне с движущейся стенкой при различных числах Рейнольдса. Приведены графики расчетов. В заключении сформулированы основные результаты диссертации. В текущей главе даются основные понятия и краткий обзор предшествующих статей и монографий по теме настоящей работы. Вначале опишем кратко постановку задачи. К может быть сингулярным оператором или оператором с особенностью в ситуации, когда граница рассматриваемой области состоит из конечного числа кусков гладких кривых. F(x) - определяется через граничные условия, кроме того, F(x) может выражаться через интеграл, который понимается в смысле главного значения. Граница области, в которой ищется решение задач (1) или (2), может быть связанной замкнутой поверхностью Ляпунова или состоящая из конечного числа кусков гладких кривых соответственно. Учитывая вышеизложенные три пункта, условно первая часть работы посвящена исследованию и регуляризации интегральных уравнений типа (3), т. Фредгольма [J.