Численные методы решения начальной и краевой задач для функционально-дифференциальных уравнений и их компьютерное моделирование

• Автор: Онегова, Ольга Васильевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 103 с. : ил

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ.
Глава 1. МЕТОДЫ ТИПА РУНГЕКУТТЫ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ .

1.1. Постановка задачи. Основные понятия и определения .

1.2. Общее описание явных методов типа РунгеКутты для

ФДУ и теорема о сходимости

1.3. Примеры методов

1.4. Численные эксперименты.

1.5. Практическая оценка погрешности. Автоматический выбор шага.

Глава 2. ПАКЕТ ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ I X И ЕГО ПРИМЕНЕНИЕ В МОДЕЛИРОВАНИИ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ .

2.1. Назначение и структура пакета I

X.
2.2. Компьютерное моделирование нелинейных систем с за
паздыванием
2.3. Моделирование систем специального вида.
2.4. Исследование колебаний токоприемника движущегося локомотива.
2.5. Задача управления регулятором гирорамы с запаздыванием .
Глава 3. ЧИСЛЕННЫЕ АЛГОРИТМЫ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ФДУ ВТОРОГО ПОРЯДКА . .
3.1. Постановка задачи. Метод нелинейной прогонки
3.2. Метод нелинейной прогонки с выделением линейного слагаемого.
3.3. Метод стрельбы .
3.4. Численные эксперименты
Глава 4. МЕТОД ОРТОГОНАЛИЗАЦИИ ЧИСЛЕННОГО
РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ ФДУ
4.1. Постановка задачи. Метод суперпозиции.
4.2. Метод ортогонализации.
4.3. Случай постоянных запаздываний
4.4. Численные эксперименты
Литература


По сравнению с другими разделами теории функционально-дифференциальных уравнений, теория краевых задач для этих уравнений в настоящее время еще не достигла своего завершения, за исключением теории линейных краевых задач второго порядка []. Краевые задачи для ФДУ возникают, например, при исследовании вариационных задач и задач оптимального управления систем с последействием, а также ряда других прикладных задач. В данном исследовании предлагаются численные алгоритмы решения нелинейной краевой задачи для ФДУ второго порядка, основанные на идее разделения конечномерной и бесконечномерной составляющей. Рассматриваются также численные методы решения краевых задач для линейной системы ФДУ. Работа имеет следующую структуру. М;(0,я! Х0 , (0. Особенностью этой системы является то, что конечномерная и бесконечномерная составляющие фазового вектора отделены, в отличие от обычно рассматриваемых систем. В разделе 1. На систему (0. В разделе 1. Рунге-Кутты с равномерным шагом для функционально-дифферен-1 щал ьны х у равней и й. В данной работе рассматривается интерполяция функциями, кусочно составленными из многочленов р-й степени, где ]) - произвольное натуральное число. Экстраполяция проводится продолжением интерполяционного многочлена р-іі степени. Приводится теорема о том, что порядок сходимости метода зависит от порядка интерполяции, экстраполяции и порядка невязки. Доказательство данного положения было получено В. Г. Пименовым и А. В. Кимом и приведено, например, в [, ]. Автором дайной диссертационной работы проведено исследование явных методов типа Рунге-Кутты при различных параметрах метода и различных способах интерполяции и экстраполяции. Результаты представлены в разделе 1. Построена простейшая модель, имеющая первый порядок сходимости - метод Эйлера с интерполяцией предыстории модели с помощью кусочно-постоянных функций (продолжение вправо). Эйлера. Построены примеры методов более высокого порядка. В разделе 1. Экспериментально подтверждаются выводы о порядке сходимости описанных в разделе 1. Рассматриваются некоторые примеры, аналитическое решение которых не известно. В таких случаях актуальным становится вопрос о практической оценке погрешности, который обсуждается в разделе 1. Для оценки погрешности можно использовать метод Рунге и, так называемые, вложенные методы. Материалы разделов 1. Региональной молодежной конференции - января г. Глава 2 посвящена описанию пакета прикладных программ TIME-DELAY SYSTEM TOOLBOX и его применению в моделировании и исследовании систем с запаздыванием. Группой разработчиков в составе А. В. Кима, В. Г. Пименова, Л. Б. Ложникова и автора данной работы, а также специалистами из Сеульского национального университета (Южная Корея), был создай набор прикладных программ, который является инструментарием к пакету М AT LAB. В разделе 2. MATLAB, описывается структура и назначение пакета. Главный раздел пакета Numerical algorithms реализован на базе вложенных методов Рунге-Кутты-Фельберга с автоматическим выбором шага с добавлением процедуры интерполяции и экстраполяции. России и за рубежом [5, 6, , 6, 7]. Полное описание пакета опубликовало в монографии [7]. В разделе 2. Достаточно часто в инженерных задачах возникают только линейные системы с запаздыванием. Моделирование подобных и некоторых других систем описано в разделе 2. Применение программ пакета продемонстрировано в разделе 2. Данная задача была решена В. Г. Гребенщиковым совместно с автором диссертации. Результаты опубликованы в работе [] и представлены на конференции ’’Дифференциальные и интегральные уравнения” в г. Ряд программ предназначен для решения некоторых задач управления системами, содержащими запаздывание в фазовых координатах или управляющих параметрах. В разделе 2. Для устранения помех на внешнюю раму прибора можно установить двигатель, усилия которого передаются по некоторому каналу связи с запаздыванием. Задача состоит в приведении состояния гирорамы в положение, близкое к иевозму[ценному, при минимальном расходе ресурсов энергии двигателя. Задача исследовалась В. А)(*) 2'(0 + А(0 а.