Построение функций распределения в математических моделях

• Автор: Тукачев, Павел Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 102 с. : ил

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

Глава 1. Теорема Зубова об аппроксимации функций распределения.

1.1 Проблема аппроксимации функций распределения.

1.2 Некоторые классические теоремы аппроксимации.

.3 Теорема Зубова.

Глава 2. Аппроксимационная сумма и проблема моментов.

2.1 Характеристические функции.

2.2 Проблема моментов.

2.3 Единственность проблемы моментов для аппроксимационных сумм.

Глава 3. Аппроксимационная сумма и метод максимального правдоподобия.

3.1 Задача оценивания неизвестного параметра.
3.2 Метод моментов.
3.3 Метод максимального правдоподобия.
3.4 Аппроксимационная сумма и метод максимального правдоподобия.
3.5 Определение параметров в двухчленной аппроксимационной сумме методом моментов.
3.6 О степени вырожденности нулевого приближения.
Глава 4. Определение параметров двухчленной
аппроксимационной суммы.
4.1 Двухчленная аппроксимационная сумма и
функция максимального правдоподобия.
4.2 Двухчленная аппроксимационная сумма и метод моментов.
4.3 Комбинирование метода максимального правдоподобия и
метода моментов.
4.4 Исследование частного случая уравнений 3.
с помощью метода малого параметра.
4.5 Распределение нормированных сумм
независимых случайных величин.
Заключение
Литература


В теореме Зубова утверждается принципиальная возможность приближенного построения функций распределения с помощью аппроксимационных сумм, однако, количество параметров в аппроксимационной сумме может быть весьма большим, подобно тому, когда непрерывная функция аппроксимируется на отрезке тригонометрическими полиномами. Некоторое обобщение теоремы Зубова для одномерных случайных величин содержится в работе []. Применению теоремы Зубова к конкретным задачам построения аппроксимационных сумм посвящены работы [7], []. Весьма актуальной является задача поиска таких случаев, когда можно ограничиться лишь несколькими членами аппроксимационной суммы. В связи с изложенным, целью данной диссертационной работы является проведение исследований, направленных на поиск именно этих случаев, и их теоретическое обоснование. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения по диссертации в целом, списка литературы, включающего наименования. Во введении дается общая формулировка проблем задания семейства функций распределения моделируемых случайных величин и выбираются направления исследований, проведенных в диссертационной работе. В первой главе рассматривается общая проблема приближений функций, приводится общая формулировка проблемы аппроксимации функций распределения случайных величин. Как частные варианты рассматриваемой проблемы, предлагаются на рассмотрение некоторые классические теоремы об аппроксимации. Особое внимание уделяется формулировке теоремы В. И. Зубова “Об аппроксимации функций распределения случайных величин” и приводится доказательство этой теоремы. Основное содержание главы составляет обоснование подхода, предложенного В. И. Зубовым, к технике построения семейства функций распределения. На основе параграфа 1. Во второй главе диссертации рассматривается проблема единственности моментов для функций распределения и уделяется внимание методу характеристических функций, как одному из основных средств аналитического аппарата теории вероятности. Выводится представление характеристической функции для аппроксимационной суммы. Исследуется частный случай разрешимости единственности проблемы моментов для аппрокси-мационных сумм, когда порождающая функция распределения является нормальной. Показано, что в этом случае проблема моментов для аппроксимационной суммы имеет единственное решение. Третья глава работы посвящена исследованию экстремальной задачи поиска максимума функции правдоподобия на множестве аппроксимаци-онных сумм с ограниченным числом слагаемых, которая получается в результате применения метода максимального правдоподобия. Этот вид анпроксимационной суммы получен для непрерывных дифференцируемых функций распределения, причем порождающая функция распределения должна быть близкой к искомой функции распределения. Ставится задача оценивания неизвестных параметров, рассматриваются некоторые основные классические методы по их оцениванию - метод моментов и метод максимального правдоподобия, которые часто применяются в математической статистике. Основной целью четвертой главы является применение методов, которые изложены в третьей главе, к двухчленной анпроксимационной сумме, которая получена в результате максимизации функции максимального правдоподобия. Здесь же приведены результаты численного исследования семейства двухчленных аппроксимационных сумм, рассматриваются конкретные примеры нахождения параметров по методу максимального правдоподобия для выборочных данных, иллюстрируется вид приближенной логарифмической функции правдоподобия для разных порождающих функций распределения. А также для этих же данных представлены примеры нахождения параметров по методу моментов. Предложен метод, в основе которого лежит метод малого параметра, что объясняется близостью искомой и порождающей функций распределения. Рассмотрен классический пример задачи построения доверительных интервалов для сумм независимых случайных величин. Показано, что в рамках принятых ограничений на порождающую функцию, параметры и вид аппроксимацион-ной суммы достигается более высокая точность определения вероятностей событий, в частности, при интервальном оценивании. Полученные в данной главе результаты подтверждают работоспособность и эффективность методов и алгоритмов, разработанных в диссертации.