Методы 4-точечных преобразований в задачах аппроксимации и сглаживания кривых и поверхностей

• Автор: Дикусар, Николай Демьянович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 213 с. : ил

СОДЕРЖАНИЕ
Введение.

Содержание работы.

Глава I. Проблемы приближения и сглаживания функций.

1.1 Проблемы полиномиальной аппроксимации функций

1.2 Трудности задачи сглаживания результатов наблюдений

1.2.1 Трековые задачи

1.3 Непараметрические методы сглаживания.

1.3.1 Метод ядерного сглаживания.

1.3.2 Оценки кближайших соседей. Суперсглаживатель

1.3.3 Сглаживание сплайнами

1.3.4 Локальнополиномиальное разложение.
1.3.5 Метод скользящего среднего МСС.
1.3.6 Рекуррентные методы сглаживания
1.3.7 Медианный сглаживатель.
1.4 Вейвлетный анализ.
Глава II. 4точечные преобразования на координатной плоскости.
Адаптивные проективные фильтры
2.1 Дискретные проективные преобразования на координатной.
плоскости
2.1.1 Функции двойного отношения четырех точек.
2.1.2 СИфункции и квадратичная парабола.
2.1.3 Определение и геометрический смысл ОРТ.
2.1.4 брТалгоритм
2.1.5 Устойчивость ОРТ к ошибкам наблюдений
2.2 Адаптивные проективные фильтры АПФ
2.2.1 Задача обнаружения и распознавания треков.
2.2.2 ОРТ как модель линейной системы.
2.2.3 Алгоритм адаптивных проективных фильтров АПФ
2.2.4 Применение АПФ для обнаружения трековых сегментов ТЭ . Глава III. Параметризация функций и ОРТприближение.
3.1 Рпреобразование степенного базиса
3.1.1 Многочлены ЗтхА,Ц
3.1.2 ., А параметризация базиса
3.2 4точечный подход к аппроксимации и сглаживанию функций. .
3.2.1 ТРЭмодель.
3.2.2 ТРБприближение гладкой функции
3.2.3 Среднеквадратичное приближение рхеЬ2а,Ь
3.2.4 Разложение СЛХ, по базису ОДлсД.
3.2.5 ТРвсглаживание.
3.3 РРТаппроксимация и другие методы приближения функций
3.3.1 Аппроксимация им преобразование
3.3.2 ЭРТприближение.
3.3.3 Сравнение с другими методами аппроксимации
Глава IV. Кусочнокубическое приближение и сглаживание кривых в режиме
адаптации
4.1 Выбор модели локальной аппроксиманты
4.2 Локальнооптимальное кубическое сглаживание кривых
4.2.1 Устойчивость к ошибкам
4.2.2 Итерационная процедура для вычисления оценки в
4.2.3 Коррекция фиксированных параметров
4.2.4 Алгоритм
4.3 Переход к вычислению по параметрам.
4.3.1 Вычисление оценки свободного параметра
4.3.2 О коррекции реперных точек в
4.3.3 Примеры сглаживания процедурой
4.4 Сравнение с другими сглаживателями.
Глава V. подход к сглаживанию поверхностей.
5.1 Бикубические модели с реперной привязкой
5.1.1 НБМ модель с девятью опорными точками.
5.1.2 Полная бикубическая модель
5.2 Бикубическое сглаживание поверхности
5.2.1 Регрессионная процедура для НБМ.
5.2.2 Примеры.
5.3 Выводы к главе V.
Основные результаты и выводы.
Литература


Р и ДУ обладают свойством ортогональности. Равенство (4) означает, что свертка вектора, образованного ИЗ функций ДВОЙНОГО отношения узДДг;ДА,Д1) ,/= 1,2,3 с вектором, составленным из приращений ординат тех же точек, расположенных на прямой линии или квадратичной параболе, равна нулю. Таким образом, правило (1) и свойство (4) могут быть использованы в качестве критерия для ответа на вопрос: "лежат ли четыре точки на прямой (квадратичной параболе) или нет? Свойства функций двойного отношения (1) играют важную роль как при решении задач аппроксимации и сглаживания произвольной кривой /(х) € Са,Ь, так и при создании алгоритмов для определения локальной формы кривой - актуальной задачи в различных системах по оптимизации. Свойстзо (4) и другие свойства СЯ-функций были использованы для построения прямого и обратного 4-точечного преобразования точек гладкой кривой, основная идея которого состоит в следующем. На кривой /(. С[д,/>] зафиксируем произвольно три точки (репер 'Л). Тогда текущая точка Р/ на / может быть вза-имообразно преобразована операцией (4), в другую точку Рг , лежащую на другой кривой , т. Р/<==±РГ. С[/;Я]-(Р,Р) и /Г1 [/";*] «<0,0, где V7 =[/л,Л,/г), Сг =[/*,/*,/*] а V7 = [[/;Я]. Операцию обратного перехода обозначим символом > : /|> = Z)“,[/<,;9? D“,[/<;SR] . Другим отличием этого преобразования является свойство понижения порядка полинома, т. SRJ"* = = 0 для х0=0, а [С;ЧЛГ=С. D[af (х) + /Л/2(*);Я,, * 2 ] « aD[j(*);Л,)+pD[f2(х);Л2] , a, fi - Const . Свойство (6) можно применять к точкам кривой, искаженным случайным аддитивным шумом (J=f+e). Р, AF+АЕ) = (Р, AF) + (Р. АЕГ-[Ae^,AeL,AeT] - вектор случайных погрешностей. Как известно, операция дифференцирования и разностные схемы в этом случае являются крайне неустойчивыми. Из (7) следует, например, что если четверка {ех,е1уе0>ег} лежит на прямой линии или квадратичной параболе, то (Р,ДЕ) = 0, т. DPT устойчива к квадратичной систематике ошибок. Мера зашумления" точек выражается уравнением ошибки Де* =(Р,ДЕ). Отсюда видно, что случайная аддитивная помеха АЕ подавляется по квадратичному закону через знаменатели СК-функций и зависит от выбора реперных точек Я (параметров преобразования), а также от алгебраического расстояния независимой координаты текущей точки до полюсных точек - X и L. Как будет показано в последующих главах диссертации, это свойство преобразований по отношению к случайным ошибкам играет важную роль при создании новых методов и алгоритмов обработки экспериментальных данных. Обнаружение и распознавание кривых на фоне шумов и потери информации является классической задачей в области распознаваний образов и компьютерной обработки изображений [] . В области физики высоких энергий и ядерной физики общей является проблема нахождения следов (треков) многих типов заряженных частиц в различных установках, работающих на пучках ускорителей. Для решения трековой задачи, на основе ОРТ автором разработан новый тип адаптивных проективных фильтров (АПФ) [] для обнаружения и распознавания треков. Построен алгоритм для автоматического обнаружения трековых сегментов (ТБ). Программно исследованы рабочие характеристики алгоритма на моделях многотрековых сцен. Показаны основные преимущества предложенного подхода по сравнению с традиционными методами распознавания треков. Третья глава диссертации посвящена применению 4-точечных преобразований для разработки простых, устойчивых в вычислениях методов и алгоритмов аппроксимации и сглаживания функций [,]. Как уже отмечалось, необходимость в таких методах вызвана тем, что прямое применение многих классических методов сглаживания в системах реального времени с огромными потоками данных в единицу времени [], не всегда могут удовлетворить ограничениям, характерным для таких систем, из-за их вычислительной сложности или неустойчивости [] . В п. Получена формула для [х*;Л" ,1? Например, у функций {С„(х;Л,/.