Математическая модель восстановления гладких потенциалов в обратных задачах спектрального анализа

• Автор: Смирнова, Лариса Викторовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Челябинск
• Количество страниц: 111 с.

Оглавление
Введение

Обозначения и вспомогательные утверждения .

Глава I. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПОТЕНЦИАЛА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДИРИХЛЕ С НЕПОЛНЫМИ СПЕКТРАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ

1. Постановка обратной задачи для задачи Дирихле

2. Математическая модель восстановления потенциала по неполному спектру в обратной задаче Дирихле
3. Алгоритм восстановления потенциала по неполному спектру и бесконечному подмножеству значений производных собственных функции по нормали к границе заданной области
4 Математическая модель восстановления потенциала по спектру с исключением лакунарных последовательностей

5. Математические модели восстановления потенциала в двухи трхмерных случаях.

6. Математическая модель восстановления потенциала в обратной задаче Дирихле, если известна асимптотика собственных чисел
Глава II. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ГЛАДКОГО ПОТЕНЦИАЛА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ РОБЕНА С НЕПОЛНЫМИ СПЕКТРАЛЬНЫМИ ДАННЫМИ.
1. Оценка модуля собственных функций для самосопряжнного оператора
2. Постановка обратной задачи единственности восстановления потенциала для задачи Робена.
3. Математическая модель восстановления потенциала по неполному спектру в обратной задаче Робена
4. Математическая модель восстановления потенциала в обратной задаче Робена, если известна асимптотика собственных чисел
Заключение.
Литература


В частности, Левинсон доказывает [], что в случае отсутствия отрицательных собственных значений фаза рассеяния, заданная для всех положительных энергий и любого фиксированного углового момента, определяет потенциал однозначно. Наиболее полные результаты в теории обратных спектральных задач получены для задачи в следующей постановке []. Пусть Ьц - оператор, определённый в І? А)<1х. Л)=зга, (р'а(Ъ> Л)=-со8а. Е2 (- со, со, с1ра (Я)) подпоследовательности |/(х)(ра (х, Я)сЬс. Функция ра (Я) со свойствами, определяемыми выражениями (4), (5), называется спектральной функцией оператора (2), определяемого граничным условием (3). Вообще говоря, может быть несколько спектральных функций, соответствующих дифференциальному выражению (2) и граничному условию (3). Обратная спектральная задача заключается в нахождении с{(х) и граничного условия (3) по данной спектральной функции ра (Я). Функция ра (Л) предполагается нормированной таким образом, что Р„(^-0)= Р„(Л) и р„(-оо) = 0. Особые успехи в теории обратных задач были достигнуты математиками В. А. Марченко [], [], М. Г. Крейном [] - [], И. М. Гельфандом и Б. М. Левитаном [], Л. Д. Фаддеевым [], Б. М. Левитаном, М. Г. I'асымовым [ ], [ 8 ], [ 9 ], Ю. М. Березанским [ 6 ], [ 7 ) и др. Начиная с В. А. Марченко, к исследованию обратных задач стали применять, так называемые, операторы преобразования, которые возникли из общих идей теории операторов обобщённого сдвига, предложенных французским математиком Ж. Дельсартом 5], и подробно разработаных Б. М. Левитаном [], [],[]. В.А. Марченко [] доказал, что спектральная функция оператора Штурма - Лиувилля (заданного на полупрямой или на конечном промежутке) однозначно определяет оператор. В этой теореме содержится как теорема Борга, так и теорема Левинсона. М.Г. Крейн нашёл метод построения оператора Штурма - Лиувилля по спектральной функции и по двум спектрам [] - []. В работе И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [ ], опубликованной в году, был предложен метод решения обратных задач для оператора Штурма - Лиувилля , который был использован для некоторых других операторов (дискретный аналог оператора Штурма - Лиувилля, матричная задача Штурма - Лиувилля, системы дифференциальных уравнений и др. Обратная задача теории рассеяния для системы Дирака второго порядка рассмотрена в работе Гасымова и Левитана [], а для системы Дирака произвольного чётного порядка - в работе Гасымов [9]. Таким образом, в теории обратных задач для дифференциального оператора Штурма - Лиувилля получены наиболее значимые результаты, в которых достаточно полно решена проблема корректности постановки, а также методов их решения. Наиболее подробно об этом изложено в монографии Б. М. Левитана [], которая посвящена изложению современного состояния теории обратных задач спектрального анализа на примере уравнения Штурма - Лиувилля, а также связи обргггных задач с вопросами разрешимости задачи Коши. Впервые обратная спектральная задача для оператора Лапласа с потенциалом была поставлена Ю. М. Березанским [6], [7]. Так в году Ю. М. Березанский [7] опубликовал результаты своих исследований для обратной спектральной задачи уже в трёхмерном пространстве. Г области G, спектральная функция «9(р,д,л) (/? Д < со) однозначно определяет коэффициент с(р) в классе кусочно аналитических коэффициентов, а также граничное условие на некоторой части границы Г, т. Таким образом Ю. М. Березанский связывает решение многомерной обратной задачи с её спектральной функцией. Ю.М. Березанский подчёркивает, что к сожалению так и не получен “эффективный” метод восстановления потенциала. Г = dD. Здесь — нормальная производная функции (рп на Г. C(r o(s)> 0. Даны величины Лп,д>п г | при всех п; найти (7(5) и q(x). Даны величины ^n,(pn f J при всех п; найти q{x). Позже в своих работах [1] - [5] М. И. Белишев опубликовал результаты своих исследований для многомерных обратных задач волнового уравнения. Так в статье М. И. Белишева [5J, опубликованной в году, рассматривается задача продолжения волновых полей и начальная краевая задача граничного управления для того же уравнения.