Моделирование минимальных сплайнов в задачах Эрмита-Биркгофа

• Автор: Тимофеев, Василий Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 146 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ

1 Минимальные лагранжевы сплайны

1.1 Полиномиальные минимальные лагранжевы сплайны

1.1.1 Элементарные минимальные сплайны

1.1.2 О лагранжевых гранично минимальных полиномиальных онлайновых аппроксимациях .

1.1.3 Оценки погрешности приближения кубическими сплайнами

1.1.4 О построении мультипликативных координатных функций на плоскости

1.2 Неполиномиальные минимальные сплайны

1.2.1 Построение непрерывных базисных функций. .

1.2.2 Построение решения ассоциированного уравнений .

1.2.3 Оценка погрешности.
2 Минимальные эрмитовы сплайны
2.1 Полиномиальные эрмитовы сплайны.
2.1.1 Общие сведения .
2.1.2 О существовании минимальных эрмитовых сплайнов
2.1.3 Частные случаи минимальных эрмитовых сплайнов
2.1.4 Примеры
2 2 Ненолиномиальные эрмитовы сплайны .
2.3 Аппроксимации первой и второй высоты
2.3.1 Построение приближений третьего порядка . .
2.3.2 Построение приближений четвертого порядка
2.3.3 Приближение сплайнами шестого порядка . .
2.3.4 Результаты численных экспериментов
3 Аппроксимации ЭрмитаБиркгофа
3.1 Решение задачи ЭрмитаБиркгофа при применении неполиномиальных сплайнов.
3.2 Решение задачи ЭрмитаБиркгофа при применении полиномиальных сплайнов.
3.3 Квадратурные формулы, согласованные с построенными аппроксимациями
4 Описание программного комплекса
4.1 Первая версия программы.
4.2 Система ,РТоок.
4.2.1 Основные принципы
4.2.2 Реализация ,5ЗРТоо
4.2.3 Организация интерфейса ЭРТоок
4.2.4 Основные возможности.
4.2.5 Модификация информационной части
4.2.6 Экранные формы.
Заключение
Приложение 1. Листинги модулей анализа аппроксимаций
Приложение 2. Листинги компонент системы БРТоокИб
Литература


На основе полученных результатов строятся новые квадратурные формулы, точные на соответствующих пространствах минимальных сплайнов. В первой главе диссертации рассматривается аппроксимация функций одной и многих переменных вещественными полиномиальными и неполиномиальными минимальными сплайнами. Построенные сплайны мы называем минимальными ввиду того, что при заданном порядке аппроксимации они имеют минимально возможный носитель и задаются полиномами минимально возможной степени. X = {Х)} : . X = {х;} : а = хо < х < . С сеткой X свяжем упорядоченное множество индексов . Х). X и из чисел {0,1,. V} — в случае конечной сетки X вида (! Пусть Ко — вещественное число, Ко > 1. Будем говорить, что сетка X = {ж;} лежит в классе Х(Ко) локально квазиравномерных сеток, если для любого J со свойством $ — 1,у + 1 € . Пусть га, /, я — натуральные числа, такие что / 4- 5 = га 4-1. Соотношения (5) называются аппроксимационными соотношениями. Получающиеся в результате функции с^(ж) непрерывны и обладают интерполяционным свойством и;(я,) = к? Кронекера. V] = у(х- значения сеточной функции, заданной на сетке X = {ж;} , е Я1. В случае конечной сетки (1') рассмотрения аналогичны, но при этом оказывается, что формула (7) сохраняется лишь для интервалов [хкУ ОДи), к = 1 — 1,. Аг — 5 + 1,. Базисные сплайны, определяемые формулами (6), (9), () будем называть гранично-минимальными базисными сплайнами. Завершает главу приближение функций многих переменных. Е?)(г). ГЛГ-*+1,®Лг]. Х2,-хк) = Ш],(Х1)ш]3(х2). Здесь ш3к — полиномиальные или неполиномиальные минимальные сплайны. Предлагаются мультипликативные приближения смешанными типами одномерных сплайнов, где, например, по одной переменной используются непрерывные полиномиальные или экспоненциальные базисные сплайны, а по другой непрерывные тригонометрические базисные сплайны. Основные результаты первой главы можно сформулировать следующим образом. Предложены решения задачи Лагранжа в виде неполиномиальных сплайновых аппроксимаций. Используемые полиномиальные и неполиномиальные минимальные сплайны являются непрерывными функциями, но их первая производная имеет разрывы первого рода в узлах сетки. Предлагаемые сплайновые аппроксимации обладают свойством точности на заданном множестве функций. Перечислим свойства минимальных неполиномиальных сплайнов. Точность аппроксимации равна га, т. Базисный сплайн и3 представляет собой обобщенный полином порядка га: ? При / > 1, 5 > 1 функция, задающая базисный сплайн, непрерывна. Носитель базисного сплайна содержит га + 1 сеточных интервалов, а кратность накрытия точки ? Приведены различные частные случаи эрмитовых минимальных сплайнов. Эрмита (но этой причине эти сплайны называем эрмитовыми гранично-минимальными сплайнами). Функцию и 6 Ст+ (а,6) будем приближать функциями й(? Е 2, а = 0,1,. Ь). Предполагаем, что кратность семейства и; конечна: «^(и/) < +оо. Аппроксимация (1) точна на функциях <ра{{) = , • • •, х1‘. Хм, х? У - (^1,0> • • • >. АеЬ(. Х:,х}1. Х^1),Х,Х? ХУ) + . ЩАЧ — / . У = 1,2,. М; г = 1,2,. Здесь определитель в числителе получается из определителя в знаменателе заменой столбца Х^ па столбец X, в первом из определителей выписана уя группа столбцов, а остальные группы обозначены многоточием. Оиределитель, стоящий в знаменателе находится с помощью теоремы, а определитель, стоящий в числителе, вычисляем аналогично. Третья глава посвящена решению задач Эрмита-Биркгофа. Остановимся кратко на содержании. Пусть в узлах сетки {х;}, . Считаем, что и Е С1 (Л1). Ш^ф) = <р2(х). Д; = 1). Эти же формулы применяем на промежутке [х3-)х3]. Пусть в узлах сетки {х3} заданы поочередно значения то функции и3, то второй производной: .