Анализ и визуализация инвариантных множеств некоторых классов динамических систем

• Автор: Драгунов, Тимофей Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 103 с. : ил

Оглавление
Введение

1 Резонансные структуры и нерегулярная динамика в системе типа ХенонаХейлеса

1.1 Система с 32 степенями свободы

1.1.1 Анализ резонансных зон в области 7.

1.1.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой отображения Пуанкаре через резонасные зоны.

1.1.3 Анализ поведения решений в малой окрестности невозмущенной

петли сепаратрисы Г.

1.2 Анализ резонансных зон в системе с двумя степенями свободы

1.3 Численный анализ.

1.3.1 Негамильтонов случай .

1.3.2 Гамильтонов случай
2 О фрактальных границах областей притяжения устойчивых режимов
2.1 Анализ взаимного расположения сепаратрис
2.1.1 Расположение сепаратрис для уравнения Дюффинга
2.1.2 Расположение сепаратрис для маятникового уравнения
2.2 Фрактальные свойства границы областей притяжения
3 Визуализация резонансных структур, аттракторов, фракталов и паттернов в динамических системах
3.1 Фазовые кривые и графики решений систем ОДУ
3.1.1 Используемые численные методы.
3.2 Траектории двумерных отображений
3.2.1 Траектории неоднозначных отображений
3.2.2 Отображения Пуанкаре
3.2.3 Построение сепаратрис.
3.3 Динамические фракталы.
3.3.1 Построение границы областей устойчивости для отображений
Пуанкаре.
3.3.2 Вычисление показателя неопределенности начальных условий
при анализе границ областей притяжения
3.4 Задачи но численному моделированию диффузионных и иолудискрет
ных распределенных систем
3.4.1 Численные методы для диффузионных систем
3.4.2 Диффузионные модели.
3.4.3 Полудискретные модели
4 Проектирование и разработка программного комплекса
4.1 Модель предметной области и варианты использования.
4.1.1 Основные требования к программе
4.2 Реализация основных вариантов использования
4.2.1 Реализация проекта программы
4.3 Интерфейс пользователя.
4.3.1 Начало работы.
4.3.2 Стандартные приемы работы с графическими построениями для
отображений и систем ОДУ.
4.3.3 Построения для диффузионных моделей.
4.3.4 Ввод пользовательских систем
4.4 Список встроенный систем.
Литература


Возможность существования сложного характера поведения решений возмущенного уравнения Дюффинга была доказана в работе Морозова []. Исследование поведения решений систем с 3/2 степенями свободы принято проводить с использованием отображения Пуанкаре. О сложном характере поведения решений можно судить по конфигурации границы областей притяжения устойчивых неподвижных точек отображения Пуанкаре. Если имеет место сложное поведение решений, то граница областей может деформироваться и приобрести фрактальные свойства. В работе МакДоналда и др. G2] для вычисления фрактальной размерности границы областей притяжения итеративного отображения был применен метод нахождения показателя неопределенности начальных условий. Дадим общие определения важнейших понятий, связанных с понятием инвариантного множества динамической системы. Пусть X — метрическое пространство с метрикой d. X в себя, параметризованное индексом который пробегает множество либо целых, либо действительных чисел. В последнем случае fl непрерывно по t. Пусть также ftl+t2 = ftl о /*2 для любых t'2 (групповое свойство). Преобразование /* называется отображением сдвига, X — фазовым пространством, а {/'} динамической системой. Если t меняется непрерывно, динамическую систему называют потоком. Инвариантным, множеством динамической системы {/*} называют множество М С X, если для любой точки х Е М выполняется условие ? М Vt. В теории дифференциальных уравнений такие инвариантные множества называют иногда интегральными множествами []. Открытая область V С X называется поглощающей, если fl(V) С V для t > 0. Множество А называется аттрактором, если существует такая поглощающая область, максимальным аттрактором в которой оно является. Очевидно, что аттрактор представляет собой инвариантное множество. Область U(А) называется областью притяжения аттрактора А. Аттрактор А называется странным, если он отличен от конечного объединения гладких многообразий [4|. Рассмотрим понятие хаоса в динамических системах. Когда говорят о хаосе для дискретных динамических систем, прежде всего подразумевается существенная зависимость от начальных условий. Более строгое определение [] включает дополнительные условия. Отображение / : А" -? Пусть х ? X, х Е U С X, U — открытое множество. Существенная зависимость от начальных условий означает, что 3 6 > 0. U, V существует такое п > 0, что fn(U) П V ф 0. Хаотическую динамику в гамильтоновых системах связывают с перекрытием резонансов и существованием гомоклинической структуры Пуанкаре. Характерной чертой неконсервативных систем с гомоклиничеекими решениями является возможность существования сложных переходных процессов и устойчивых длиинопериодических движений. В большинстве нетривиальных моделей точечная система представляет собой существенно нелинейную динамичесую систему невысокого порядка, в которой возможны автоколебания. Состояния равновесия точечной системы соответсвуют стационарным однородным в пространстве решениям распределенной системы. В результате потери устойчивости однородного состояния в активных средах возможно возникновение воли или устойчивых пространственных структур. С другой стороны, в результате синхронизации хаотических пространственных колебаний взможно формирование динамических упорядоченных структур — паттернов. Существующее математическое программное обеспечение (ПО) можно классифицировать по нескольким критериям: наборы подпрограмм и интегрированные комплексы, средства выполнения аналитических вычислений и пакеты визуализации, коммерческое и свободно распространяемое ПО. В настоящее время существует' несколько мощных универсальных математических пакетов: Maple [], Mathcad [], Mathemati-са [], Matlab [|. Они содержат богатый набор алгоритмов численного решения дифференциальных уравнений и графической визуализации. Однако универсальные средства не обязательно являются наилучшими при рассмотрении конкретного круга задач. На наш взгляд, не хватает программных средств, ориентированных на интерактивную работу пользователя с графическим построением и визуализацию динамических процессов в режиме «on-line».