Алгоритмы вычисления полуцелых регуляризованных следов дискретных полуограниченных операторов

• Автор: Распопов, Владимир Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 127 с.

Содержание
Введение

1. Некоторые спектральные свойства самосопряженных

дискретных операторов

1.1 Общие вопросы теории самосопряженных операторов

1.2 Следы дискретных самосопряженных операторов

1.3 Приближенные формулы регуляризованных следов

самосопряженных операторов

1.4 Спектральная задача ШтурмаЛиувилля

2. Алгоритм вычисления первого пол у цело го регул я рпзо ванного следа одного класса возмущенных обыкновенных дифференциальных операторов

2.1 Алгоритм вычисления первого полуцелого

пегуЛНтизованчого следа объшюве иного
дифференциального оператора порядка 4т.
2.2 Алгоритм вычисления первого полуцелого
регул яр изова иного следа одного обыкновенного
дифференциального оператора восьмого порядка.
2.3 Алгоритм вычисления первого полуцелого
регуляризоваиного следа одного обыкновенного
дифференциального оператора четвертого порядка.
3. Вычисление первых собственных чисел одного класса
возмущенных операторов.
3.1 Формула регуляризоваиного следа произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.
3.2 Вычисление чисел а2пи в формуле регуляризоваиного
следа произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.
3.3 Явный вид первых пяти поправок теории возмущений.
3.4 Оценка погрешности в формуле регуляризоваиного следа .
произвольного полуцелого порядка возмущенного дискретного самосопряженного оператора.
3.5 Вычисления первых собственных чисел модели Штурма
Лиувилля со смешанными граничными условиями.
Приложения
Список литературы


М. Левитаном в [] метод гиперболического уравнения, а так же метод параболического уравнения, предложенный С. Минакшисундарамом и А. Плейелем в []. Достаточно полный обзор различных вопросов спектральной теории дифференциальных операторов в частных производных дан в []. Обозначим через N(1) число (с учетом кратности) собственных значений оператора Г, не превосходящих Я. Исследованию асимтотического поведения функции ЛГ(Я) при |Я|~>сс посвящено большое количество работ. В работах Г. Вейля [] был получен главный член И(А)~ аА’, п без оценки остаточного члена. Здесь т - порядок оператора Т, а п - размерность многообразия, на котором он действует. Им же была доказана гипотеза о существовании второго члена асимптотики ЛГ(Я) (связанного с граничными условиями, если речь идет о многообразиях с краем). ЛГ(Я) имеет «кластерную асимптотику», невозможно улучшение остаточного члена, более того, невозможно даже выделение из остаточного члена второго члена асимптотики. Стандартным инструментом такого исследования асимптотического поведения спектра является получение формул регуляризованных следов оператора вида (0. Создание этой теории связано с именами И. М. Гельфанда и Б. М. Левитана [], []. Параллельно с ними свои результаты получил Л. А. Дикий в [], []. В результате исследования И. М. Гельфандом и Л. А. Диким в году [] был предложен новый метод приближенного вычисления первых собственных чисел оператора Штурма-Лиувилля - в рассмотренной системе регуляризованных следов удерживаются частные суммы до М-ю слагаемого в (Аг+1)-ом регуляризованном следе. Полученную приближенную систему решают, находя некоторые приближения к собственным числам задачи. Однако в году, С. А. Шкарин в [] доказал неединственность решения бесконечных линейных систем определенного вида. Таким образом было доказано, что метод Гельфанда-Дикого в указанной трактовке не может быть использован. Получению формул регуляризованных следов для обыкновенных дифференциальных операторов были посвящены работы М. Г. Гасымова и Б. М. Левитана [8], [9], [], Р. Ф. Шевченко [], А. Г. Костюченко [] и многих других. Наиболее общие результаты для обыкновенных дифференциальных операторов были получены в работах В. А. Садовничего, В. Б. Лидского, В. А. Любишкииа и В. Е. Подольского. Так, в работах В. А. Садовничего, В. Функции этого вида возникают при рассмотрении краевых задач для дифференциальных уравнений со спектральным параметром г. В этих работах авторы активно использовали теорию аналитических функций, благодаря которой им удалось сформулировать решение для широкого класса операторов. Однако при всей универсальности рассмотренного решения оно было достаточно громоздким и приближенным. Поэтому задача эффективного вычисления регуляризованных следов рассмотренных операторов осталась не до конца решенной. Позже появились работы В. А. Садовничего [], где он, пользуясь той же методикой, исследовал распределение части корней характеристической функции оператора, что для оператора Штурма-Лиувилля означало нахождение полуцелого регуляризованного следа задачи. В.А. Садовничему удалось выписать полуцслый след широкого класса операторов. Но суммы Ак(Т В содержали интегралы от следа резольвенты возмущенного оператора, что не позволяло в принципе говорить о возможности численной реализации этого метода. Заметим, что вычисление иТ* и интегралов от следа резольвенты является сложной и трудно алгоритмизируемой задачей. Позднее в -х годах в работах В. А. Садовничего и В. У —. Г —> со . Таким образом, несмотря на очень широкий класс рассмотренных операторов, при нахождении полуцелых регуляризованных следов и, отчасти, следов целых степеней неизвестные величины выражались через неизвестные. Поэтому была поставлена задача нахождения полуцелого регуляризованного следа возмущенного оператора, который бы в явном виде выражался через термины задачи и возмущающий потенциал. Решению этой задачи была посвящена работа В. В. Дубровского, Н. В.Семина [], в которой был получен первый полуцелый регуляризованный след для широкого класса операторов.