Численное моделирование задач электродинамики и аэродинамики сингулярными интегральными уравнениями

• Автор: Романова, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Пенза
• Количество страниц: 224 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Обзор методов. Вспомогательные утверждения

1.1 Метод интегрального уравнения в электродинамике.

1.2 Гиперсингулярные интегралы и гиперсингулярные интегральные уравнения.

1.3 Обзор приближенных методов решения сингулярных и гиперсингулярных уравнений.

2 Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингу

лярных интегральных уравнений

2.1 Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений первого рода

2.2 Коллокационный метод решения одномерных линейных гиперсингулярных интегральных уравнений

2.3 Линейное уравнение двумерный случай.

2.4 Коллокационный метод решения одномерных нелинейных гиперсингулярных интегральных уравнений.
2.5 Приближенное решение нелинейного гиперсингулярного интегрального уравнения
3 Применение численных методов решения сингулярных интегральных уравнений к моделированию задач электродинамики
3.1 Применение метода дискретных особенностей к приближенному решению задач теории волноводов
3.1.1 Е плоскостной Т сочлененный волновод.
3.1.2 Линейный Т волновод.
3.2 Приближенное решение составного особого интегрального уравнения .
3.2.1 Характеристическое уравнение
3.2.2 Оценка погрешности
4 Численные методы решения особых интегральных уравнений крыла
4.1 Приближенное решение нелинейного интегродифференциаль
ного уравнения крыла конечного размаха
4.1.1 Вывод уравнения.
4.1.2 Решение уравнения Прандтля
4.1.3 Приближенное решение нелинейного уравнения крыла
конечного размаха.
Заключение
Литература


Если ввести операцию дифференцирования под знак интеграла, то получим расходящийся интеграл (интеграл в смысле Адамара). К названным интегродифферен-циальным уравнениям приводят многие задачи математической физики. Это, например, задачи дифракции акустической волны на тонком, бесконечно протяженном, ижесткоммэкране и задача дифракции Я— поляризованной электромагнитной волны на идеально проводящих цилиндрических оболочках []. Напомним определения интегралов в смысле Коши и в смысле Адамара. Определение 1. Г Х{. Щь+ / е->о У т — ? Определение 1. В{е) - функция, имеющая непрерывные производные до р — 1 порядка и подбираемая так, чтобы предел существовал. Разработке теории интегральных уравнений с гиперсингулярными интегралами посвящены, в частности, работы [], [], []. Построение различных квадратурных формул их численного интегрирования и исследования сходимости соответствующих квадратурных формул имеется, например, в [7], [], [0], [4], [7]. Указанные работы содержат также ссылки на более ранние публикации по данной тематике. В последние тридцать лет отмечается устойчивое возрастание интереса к проблематике, связанной с применением интегралов Адамара, а в связи с этим и к задачам вычисления интегралов Адамара и решения интегральных уравнений с названными интегралами. Интегралы Адамара возникли в результате решения задачи Коши для уравнений в частных производных гиперболического типа [2]. Задача Коши встречается в большом числе физических приложений. Все эти физические задачи имеют решение в виде функции, связанной с потенциалом и(г). Если задача усложнится, начальные условия задачи Коши будут более сложными и, в результате, решение будет функцией, не имеющей производных. Следует' ожидать, что решение задачи Коши в этом случае не существует, оно представляется в виде несобственного интеграла. Ж. Адамар ввел регуляризацию этого интеграла. Большой цикл работ по качественной теории уравнений с интегралами Адамара выполнил K. Wiener [8]. Он также решает интегральное уравнение с интегралом Адамара приближенным методом функциональных поправок. Серия его статей посвящена вопросам разрешимости интегральных уравнений с интегралом Адамара. Рассмотрим еще круг некоторых прикладных задач, сводящихся к гипер-сингулярным (сингулярным) уравнениям. Современная инженерная практика требует усовершенствования методов расчета элементов конструкций на прочность, надежность и долговечность. В значительной степени эти вопросы рассматривает механика разрушения, занимающаяся изучением развития трещин в твердых телах. Считается, что во всех твердых телах имеются различного рода микродефекты, развитие которых под действием приложенных нагрузок приводит к появлению трещин и их росту, т. Одним из наиболее универсальных и удобных для реализации на ЭВМ является метод сингулярных интегральных уравнений, нашедший особенно широкое применение при решении двухмерных задач теории упругости для тел с трещинами. В работах [], [] получены сингулярные и гиперсингулярные интегральные уравнения для многосвязных областей с отверстиями и разрезами в общем случае, когда разрезы выходят на границу тела, а также соединяют отверстия между собой и (или) с внешней границей. В работе [] некоторые типы граничных задач теории пластин и оболочек сводятся к граничным интегральным уравнениям с интегралом Адамара. Большое число работ по аналитическим и численно-аналитическим методам вычисления гиперсингулярных интегралов и решению уравнений, встречающихся в различных задачах электро- и аэродинамики, выполнены И. К. Лифановым []—[]. Так в работе [] рассмотрен новый класс гиперсингулярных уравнений в теории проволочных антенн. При этом в правой части полученного уравнения стоит функция, имеющая особенность вида (t — g)“1. Решением уравнения (в классе обобщенных функции) в этом случае является функция, имеющая разрыв первого рода. И.К. Подобное уравнение встречается в задачах вычисления входного сопротивления проволочной антенны [], в задачах вычисления электромагнитного поля в гиротроне для случая ТМ-волны [].