Автоматическое управление точностью численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений линейными многошаговыми методами

• Автор: Шиндин, Сергей Константинович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 193 с. : ил

Оглавление
Введение

1. Обзор литературы

1.1. Многошаговые методы решения обыкновенных дифференциальных уравнении.

1.1.1. Многошаговые методы с постоянным шагом интегрирования .

1.1.2. Многошаговые методы с переменным шагом интегрирования .

1.1.3. Представление Нордсика для многошаговых методов

1.2. Адаптивные численные методы на основе оценки локальной ошибки . .

1.2.1. Способы оценки локальной ошибки

1.2.2. Процедура выбора размера шага интегрирования.

1.3. Способы оценки глобальной ошибки и проблемы построения адаптивных методов на основе оценки глобальной ошибки
1.3.1. Глобальная ошибка численных методов и смежные вопросы .
1.3.2. Методы оценки глобальной ошибки
1.3.3. Проблемы построения адаптивных численных методов на основе оценки глобальной ошибки.
1.4. Резюме
2. Оценка и контроль глобальной погрешности многошаговых методов с постоянным шагом интегрирования
2.1. Вычисление опенок локальной и глобальной ошибок на равномерной
2.1.1. Построение оценок локальной и глобальной ошибок .
2.1.2. Вычисление старшей производной численного решения
2.1.3. Обоснование метода оценки главного члена локальной ошибки .
2.1.4. Обоснование метода оценки глобальной ошибки .
2.2. Вычисление оценок локальной и глобальной ошибок па неравномерной сетке.
2.2.1. Многошаговые методы с постоянным шагом интегрирования
на неравномерной сетке
2.2.2. Обоснование метода, оценки главного члена локальной ошибки .
2.2.3. Обоснование метода оценки глобальной ошибки .
2.3. Управление точностью численного решения н вычислительные эксперименты .
2.3.1. Комбинированное локальноглобальное управление размером шага интегрирования
2.3.2. Неявные методы
2.3.3. Вычислительные эксперименты
2.4. Резюме.
3. Оценка и контроль глобальной погрешности многошаговых методов с переменным шагом интегрировании
3.1. Вычисление оценок локальной и глобальной ошибок.
3.1.1. Построение оценок локальной и глобальной ошибок.
3.1.2. Вычисление старшей производной численного решения
3.1.3. Обоснование метода, оценки главного члена локальной ошибки .
3.1.4. Обоснование метода оценка глобальной ошибки .
3.2. Управление точностью численного решения и вычислительные эксперименты .
3.2.1. Комбинированное локальноглобальное управление размером шага интегрирования
3.2.2. Неявные методы.
3.2.3. Вычислительные эксперименты
3.3. Резюме
4. Оценка и контроль глобальной погрешности методов Нордсика
4.1. Вычисление оценок локальной и глобальной ошибок на равномерной сетке
4.1.1. Построение оценок локальной я глобальной ошибок .
4.1.2. Вычисление старшей производной численного решения
4.1.3. Обоснование метода оценки главного члена локальной ошибки .
4.1.4. Обоснование метода оценки глобальной ошибки
4.2. Вычисление оценок локальной и глобальной ошибок на неравномерной сетке
4.2.1. Методы Нордсика па неравномерной сетке.
4.2.2. Обоснование метода оценки главного члена локальной ошибки .
4.2.3. Обоснование метода оценки глобальной ошибки .
4.3. Управление точностью численного решения и вычислительные эксперименты .
4.3.1. Комбинированное локальноглобальное управление размером шага интегрирования
4.3.2. Неявные методы.
4.3.3. Вычислительные эксперименты
4.4. Резюме
А. Библиотека программ
А.1. Классы и функции для работы с матрицами.
А.1.1. Заголовочный файл ix .
А.1.2. Шаблон класса ix.
А.1.3. Шаблон класса iix
А.1.4. Создание объектов шаблона класса ix
А. 1.5. Операторы присваивания
А.1.6. Операторы индексации.
А. 1.7. Операторы сдвига
А.1.8. Операции конкатенации .
А.1.9. Служебные функциичлены
АДЭлементарные функции для работы с матрицами.
А .1 Операторы сравнения
А.1 Арифметические операторы
А.1Основные математические функции
А.1Функции и операции для решении систем линейных .уравнений .
А. 1Логические операторы и функции
А.2. Функции и структуры для численного решения обыкновенных дифференциальных уравнений.
А.2.1. Заголовочный файл i .
А.2.2. Структура
А.2.3. Структура v
А.2.4. Структура ii.
А.2.5. Заголовочный файл .
А.2.6. Заголовочный файл .i.
А.2.7. Пример использования функции библиотеки
Литература


И если проблемам оценки глобальной ошибки посвящено достаточно большое число работ см. Можно указать лишь относительно небольшое количество статей, так или иначе затрагивающих эту тематику , , , , 2, 4, 6, 7, 8, 9, 3, 3, 5. Данная глава включает в себя три параграфа. Первый параграф содержит основные сведения из классической теории многошаговых методов решения ОДУ. Во втором параграфе приведены результаты, касающиеся реализации адаптивных численных методов на основе использования оценок локальной ошибки. В третьем параграфе приведен обзор литературы, посвященный проблемам получения обоснованных оценок глобальной ошибки численных методов, и способам эффективного использования таких оценок для контроля точности численного решения. Начало изучению многошаговых методов было положено работами Адамса и Башфорта, посвященными исследованию капиллярных процессов еще в XIX столетни см. Дальнейший прогресс в теории и практике многошаговых методов для численного интегрирования ОДУ связан с работами Нюстрма 8 и Милна 6. Позже Кертисом и Хиршфельдером , а также Митчелом и Крэггсом 7 предложены многошаговые методы, известные в настоящее время как формулы дифференцирования назад. Систематическое исследование устойчивости и сходимости многошаговых методов было заложено в середине х годов XX столетия работами Бахвалова 3, 4 и Далквиста . К настоящему моменту для указанного класса методов разработана обширная математическая теория, включающая различные аспекты численного интегрирования от аппроксимации и устойчивости до эффективной реализации и адаптивности см. Параграф 1. ОДУ. Здесь же вводится часть обозначений, которые используются в дальнейшем. В процессе изложения мы будем следовать в основном книге . Ип1 1Г. К, Кт 0 Т. Пусть нам известны величины . Определение 1. При Ьо 0 метод 1. Введем понятия локальной ошибки и невязки многошагового метода. Определение 1. Локальной ошибкой многошагового метода в точке и назовем разность . Хц о 1. Определение 1. К 1, назовем невязкой многошагового метода 1. Известно см. Последнее обстоятельство позволяет корректно определить порядок многошагового метода. Определение 1. Метод 1. Щш,х1,т 0т. Фундаментальную роль в теории многошаговых методов с постоянным шагом интегрирования 1. Определение 1. Определение 1. Говорят, что метод 1. Из стандартной теории многошаговых методов известно , с. С которого имеют общий делитель, не представляет практического интереса. Поэтому далее будем рассматривать только многошаговые методы неприводимые в смысле определения 1. Порядок многошагового метода 1. Следующая теорема устанавливает указанную зависимость см. Теорема 1. С 1 при сИ. Определение порядка многошагового метода носит локальный характер. Поэтому наличие высокого порядка аппроксимации метода 1. Необходимо, чтобы метод 1. Первые результаты в этой области были получены Бахваловым 4 в году для явных методов порядка 5 . Общий результат, устанавливающий связь между порядком и устойчивостью многошаговых методов, был получен в году Далквистом . Важно отметить, что схема доказательства приведенная Далкзистом в может быть с успехом применена для исследования устойчивости многошаговых методов более общего вида, чем 1. Примером может служить работа . Другой подход к доказательству первого барьера Далквиота с использованием так называемых порядковых звезд можно найти в . Перейдем к формулировке основных результатов теории устойчивости многошаговых методов. Определение 1. Говорят, что многошаговый метод 1. Определение 1. Многошаговый метод 1. В противном случае метод 1. Следующая теорема дает так называемый первый барьер Далквиста, который устанавливает связь между порядком и устойчивостью многошаг овых методов см. Теорема 1. Ьоа0 0. В любой математической теории, касающейся численных методов, огромное внимание всегда уделяется зонросу сходимости. Так, сходимость многошаговых формул того или иного специального вида исследовали многие авторы. Например, сходимость методов Адамса изучалась Бахваловым в 3. В общем случае сходимость многошаговых методов 1. Далквист в году см.