Проекционные методы определения функции радиального распределения некристаллических систем

• Автор: Лякишев, Антон Владимирович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 95 с. : ил

Оглавление
Введение.

1 Математические задачи, возникающие при анализе данных дифракции расплавов.

1.1 Уравнение ЦерникеПринса дифракции расплавов

1.2 Задача нахождения функции радиального распределения

и методы ее решения.

1.3 Свойства собственных функций оператора дифракции некристаллических систем.

2 Проекционный метод решения уравнения дифракции некристаллических систем с данными на конечном отрезке.

2.1 Общая схема проекционного метода.

2.2 Проекционный метод для уравнения дифракции в случае приближенно заданных данных

2.3 Результаты вычислительных экспериментов

3 Проекционный метод решения уравнения дифракции некристаллических систем с вполне непрерывным оператором.
3.1 Проекционный метод решения уравнения 1го рода.
3.2 Собственные функции оператора А А.
3.3 Результаты вычислительных экспериментов
4 Программный комплекс для исследования структуры некристаллических систем и его применения.
4.1 Вычислительные аспекты реализации проекционных алгоритмов
4.2 Описание классов и программного комплекса
4.3 Результаты вычислений функции радиального распределения некристаллических систем
Заключение.
Список иллюстраций.
Список таблиц.
Литература


Это приводит к некорректности соответствующих задач, для решения которых необходимо применять специальные методы. Появление вычислительной техники способствовало распространению методов определения функции радиального распределения, основанных на применении формулы обращения интегрального преобразования Фурье. Однако ограниченность интервала, на котором доступны экспериментальные данные о структурном факторе, обуславливает появление на функции радиального распределения эффектов обрыва. Как показано в работах [-], обрыв кривой интенсивности приводит к появлению ложных максимумов и размыванию реальных гшков функции радиального распределения, что не позволяет однозначно интерпретировать структуру исследуемых систем. Развитие математической теории решения некорректных задач позволило использовать для определения функции радиального распределения более общие методы. Тихонова []. При этом задача нахождения функции радиального распределения сводится к минимизации регул яри-зирующего функционала. Для выбора параметра регуляризации обычно применяют принцип невязки [-], использующий информацию о погрешности экспериментальных данных. Как показано в ||, при различных уровнях погрешности получаемые решения могут различаться между собой достаточно сильно. Повышение точности может быть достигнуто за счет учета априорной информации о функции радиального распределения и последующего применения итерационного процесса, что требует значительных вычислительных затрат. В последнее время особое внимание исследователей привлекают проекционные методы, соединяющие в себе регуляризацию и сохраняющие важные характеристики исходной задачи. Они основаны на представлении решения в виде линейной комбинации некоторой системы функций. При этом различный выбор системы базисных функций, разные способы вычисления коэффициентов и определения количества слагаемых привели к появлению различных методов. В работе [] в качестве базисных функций предлагается использовать функции Лагерра. Однако, как показано в работах [-], использование функций Эрмита является более предпочтительным вследствие их инвариантности относительно преобразования Фурье. В качестве коэффициентов используют либо коэффициенты Фурье, либо коэффициенты, полученные в результате решения задачи о наилучшем равномерном приближении. Однако последняя задача в случае не ортогонализованной системы является плохо обусловленной, и для ее решения необходимо применять специальные методы ||. До настоящего времени основным критерием выбора количества слагаемых в проекционных методах является достижение экспериментальной точности, что приводит к появлению высокочастотных возмущений в приближенном решении. Целью диссертационной работы является построение и исследование проекционных методов для определения функции радиального распределения по экспериментально полученному структурному фактору, их программная реализация и применение разработанного программного обеспечения для расчета функции радиального распределения ряда некристаллических систем. Первая глава диссертации посвящена постановке задачи нахождения функции радиального распределения по данным дифракционных экспериментов и обзору методов ее решения. В ней также проведено исследование некоторых свойств функций Эрмита, применяемых в последующих главах для обоснования предложенных проекционных методов. Во второй главе разрабатывается проекционный метод решения уравнения Цернике-Принса, описывающего связь между функцией радиального распределения и структурным фактором. Решение ищется в виде линейной комбинации нечетных функций Эрмита. В третьей главе исследован проекционный метод решения интегрального уравнения Фредгольма 1-го рода, возникающего при решении уравнения дифракции некристаллических систем. Четвертая глава, содержит описание численной реализации предлагаемых проекционных методов, созданного программного комплекса для исследования структуры некристаллических систем и результаты расчета функции радиального распределения ряда некристаллических систем. Основные результаты работы перечислены в заключении.