Новый метод вычисления собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов

• Автор: Кадченко, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Магнитогорск
• Количество страниц: 301 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.

Глава 1. Дискретные операторы. Регуляризованные следы операторов

1.1. Спектр оператора. Самосопряженные и ядерные операторы.

1.2. Следы дискретных операторов.

Глава 2. Теоретическое обоснование нового метода нахождения первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов
2.1. Регуляризованные следы дискретных операторов целого порядка. Числовые ряды поправок теории возмущений

2.2. Вычисление поправок теории возмущений самосопряженных операторов.

2.3. Новый метод вычисление сумм числовых рядов поправок теории возмущений дискретных операторов.
2.4. Составление характеристического многочлена вековою определителя для приближенных значений первых собственных чисел дискретных операторов.
2.5. Нахождение предельных абсолютных погрешностей вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов.
2.6. Алгоритм вычисления первых собственных чисел возмущенных самосопряженных операторов методом регуляризованных следов .
Глава 3. Алгоритмы нахождения собственных чисел спектральных задач гидродинамической теории устойчивости ме
тодом регуляризованных следов.
3.1. Спектральная задача Орра Зоммерфельда
3.2. Спектральная задача Пуазейля.
3.3. Спектральная задача Куэтта.
Глава 4. Численные эксперименты
4.1. Вычисление собственных чисел спектральной задачи ОрраЗоммерфельда методом регуляризованных следов.
4.2. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Пуазейля методом регуляризованных следов.
4.3. Вычисление собственных чисел спектральной задачи Куэтта методом регуляризованных следов.
Основные результаты и выводы.
Приложения.
Список литерату


Виннипег, г. Международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (г. Москва, МГУ, г. Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (г. Суздаль, ВГПУ, г. Modern Trends in Computational Physics" (г. Дубна, Объединенный институт ядерных исследований, г. Международной конференции "Differential Equations and Related Topics", посвященной столетию со дня рождения И. Г. Петровского (г. Москва, МГУ, г. Международной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математические модели"(г. Челябинск, ЧелГУ, г. Международной конференции "Колмогоров и современная математика" (г. Москва, МГУ, г. Результаты работы обсуждались на научных семинарах академика РАН России В. А. Садовничего, профессора В. Б. Л и декого, профессора В. В. Дубровского, профессора Г. А. Свиридюка. Работа диссертанта была поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (грант РФФИ . Во введении обосновывается актуальності, темы исследования, сформулированы цели, задачи и научная новизна диссертации. Кратко излагается содержание работы. В первой главе рассмотрены известные факты из спектральной теории линейных операторов, которые используются в диссертации. Вторая глава посвящена теоре тическому обоснованию метода РС. В пункте 2. Доказана теорема, позволяющая вычислять следы дискретных операторов. Рассмотрим дискретный, полуограниченный снизу оператор Т и ограниченный оператор) Р, заданные в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Пусть {Дп}^і - собственные числа оператора Т, занумерованные в поршдке возрастания их величин с учетом кратности, а {ип}п= - соответствующие им ортонормированные собственные функции. Допустим, что {/? Т + Р, занумерованные в порядке возрастания их действительных частей с учетом алгебраической кратности. Теорема 2. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Я. Т + Р, єр = Yl а? R»(T) - резольвента оператора Т, = |дПо+і — рПо. Лемма 2. Теорема 2. Пусть Т - дискретный полуограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабель-ном гильбертовом npocmjxiHcmee Я. Ptfi0(l VA:,p € N. Теорема 2. Пусть Т - дискретный полуограниченпый снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если для. ЯДТ)]®0 является ядерним и для щ Є N выполняется неравенство 2||р|| ос . Т + Р абсолютно сходятся. Теорема 2. Пусть 'Г - дискретный полуограниченпый снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Т -- Р. В пункте 2. У а? Р мнимый. Теорема 2. Пусть Т - дискретний полу ограниченный снизу оператор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Тогда поправки теории возмущений (2. Уіу = (Ршьщ), . Фп}^1 -собственные числа и соответствующие им ортонормированные собственные функции оператора Т. I - время исполнения алгоритма) [8|, резко уменьшается. Это связанно с тем, что формулы но которым вычисляются <4р)(по) содержат к -мерные числовые ряды и производные до А: — 1 порядка включительно. В пункте 2. Теорема 2. Пусть Т - дискретный полуограииченпый снизу огщтпор, а Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Если оператор Т 4- Р положительно определенный в Н и система координатных функций {у? Теорема 2. Пусть Т - дискретный полу ограниченный снизу оператор, а. Р - ограниченный оператор, действующие в сепарабельном гильбертовом пространстве Н. Допустим, что система собственных (функций {а/*}? Т является базисом. Зи• •*=! В пункте 2. Т + Р. Обозначим через Зр(? Тогда приближенный аналог нелинейной системы по уравнений (0. Дь(? По . Г. . У (ЖУ) + . У = (-1)*Зк(У = [а»(У + ^(-1Г? В пункте 2. Т + Р. Приближенные значения первых по собственных чисел {Рк^Р)У1°=1 оператора Т + Р являются корнями многочлена (0. Если вычислять Ьр первых поправок теории возмущений О^(по), используя теорему 2. Зр(?