Математическая модель осцилляций решений дискретных уравнений Штурма-Лиувилля высших порядков и ее приложения к колебаниям линейных систем

• Автор: Бондаренко, Алексей Алексеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 148 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Методы осцилляционной теории в математическом моделировании колебаний линейных систем
1.1. Математическое моделирование колебаний линейных систем
1.2. Постановка задачи
1.3. Обзор осцилляционной теории уравнений Штурма - Лиувилля
и её приложений в численных методах
1.4. Основные свойства дискретной модели, описываемой уравнениями Штурма - Лиувилля порядка 2п
1.5. Основные результаты главы
Глава 2. Осцилляционные свойства решений уравнений Штурма - Лиувилля высших порядков
2.1. Число фокальных точек решения уравнения Штурма - Лиувилля высшего порядка
2.2. Одно свойство числа фокальных точек т* (У)
2.3. Осцилляционные теоремы для уравнения Штурма - Лиувилля
высшего порядка
2.4. Уравнения Штурма - Лиувилля и трехчленные рекуррентные
соотношения
2.5. Пример исследования дискретных уравнений Штурма - Лиувилля
2.6. Основные результаты главы
Глава 3. Вычисление фокальных точек дискретных уравнений Штурма — Лиувилля

3.1. Трудности вычисления фокальных точек
3.2. Ортогональные трансформации сопряженного базиса симплек-тической системы
3.3. Подсчет числа фокальных точек уравнения Штурма - Лиувил-
ля четвертого порядка
3.4. Подсчет числа фокальных точек уравнений Штурма - Лиувил-
ля высшего порядка
3.5. Дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля второго порядка с периодическими граничными условиями
3.6. Основные результаты главы
Глава 4. Алгоритмы вычисления собственных значений дискретной краевой задачи Штурма — Лиувилля высшего порядка
4.1. Алгоритмы вычисления фокальных точек и их применение в методе бисеции
4.2. Примеры вычислений собственных значений дискретных краевых задач Штурма-Лиувилля с граничными условиями Дирихле
4.3. Примеры задач с разделенными граничными условиями
4.4. Вычисление собственных частот колебаний моделей с распределенными параметрами
4.5. Основные результаты главы
Заключение
Литература
Приложение А. Описание программного комплекса
А.1. Основные характеристики комплекса

Введение
Актуальность работы. Механические и электромагнитные колебания в линейных системах, многие явления в ядерной физике и квантовой химии описываются дифференциальными и разностными уравнениями высших порядков. Для таких задач разделение по времени и по пространственным переменным приводит к дифференциальным и дискретным краевым задачам Штурма - Лиувилля. Дискретные краевые задачи Штурма - Лиувилля высших порядков возникают при исследовании поперечных колебаний дискретных моделей стержневых систем, анализе моделей колебаний частиц в одномерных решетках, учитывающих дальние взаимодействия, а также при аппроксимации дифференциальных краевых задач Штурма - Лиувилля конечно-разностными соотношениями. При изучении механических колебаний в линейных системах в теоретическом и прикладном аспектах основной интерес представляют низшие моды колебаний, анализ которых требует решения частичной проблемы собственных значений для дифференциальных и дискретных краевых задач Штурма - Лиувилля высших порядков.
В работах E. A. Coddington, N. Levinson [64], P. Hartman [80], E. C. Titchmarsh, И. M. Глазмана [15], Л. Д. Николенко [27], В. А. Якубовича [44], [42], [43], [45] и других авторов изучались осцилляционные свойства решений дифференциальных уравнений Штурма -Лиувилля, которые позже легли в основу методов решения краевых задач Штурма - Лиувилля второго и четвертого порядков, разработанных А. А. Абрамовым [2], Р. В. Bailey, W. N. Everitt, A. Zettl [52], Л. Д. Акуленко, Г. В. Костиным, С. В. Нестеровым [3], [49], L. Greenberg, М. Marietta [74],[75] и др.
Дискретная краевая задача Штурма - Лиувилля второго порядка с разделенными граничными условиями равносильна задаче на собственные значения для симметричной трехдиагональной матрицы. Решением последней

где Л € И, Хг, щ € М”. Отметим, что уравнения (1.3.17) могут быть записаны в виде
Ниже для (1.3.19) будем рассматривать не только векторное решение Уі, но и сопряженные базисы удовлетворяющие (1.2.10) и главное решение определенное в 1.2.2.
Как уже было отмечено, число фокальных точек - осцилляционная характеристика, обобщающая понятие нуля функции на случай матричного решения системы (1.2.3).
Определение 1.3.6. 1 Говорят, что сопряженный базис У) системы (1.2.3) имеет т(У)) фокальных точек (с учетом их кратностей) на (і, і + 1], если т(г) = т{г) + т2(г), где
при этом - блок матрицы Ид.
В работе [20] разработана концепция числа фокальных точек т*(У.]) на [г, г + 1) (включен левый конец интервала (г, г + 1)), которую можно отождествить с числом фокальных точек сопряженного базиса обратной симплекти-ческой системы
1 гапк(А) - ранг матрицы А, - псевдообратная матрица матрицы А, гпс1(А) - число отрицатель-
ных собственных значений матрицы А [13]
уш(Л) = Щ(А)Уі, г = 0

Ж £?,ІЗг = <7, Ж = Щ > 0. (1.3.20)
-АЖ I
ті (г) = гапк Ми М* = (I - АЖЖД;, (1.3.21)
т2(г) = іікі(7)тХгАІ+1 Д;їг), Тг = І — М}Ми (1.3.22)
(1.3.23)