Метод решения некорректно поставленных задач при условии истокообразной представимости точного решения и его применение к задаче катодолюминесцентной микротомографии

• Автор: Дорофеев, Константин Юрьевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.
Глава 1. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности в случае линейных

операторных уравнений.

1. Случай точно заданных операторов

2. Особые свойства метода расширяющихся компактов

3. Случай операторов, заданных с ошибками

4. Связь метода расширяющихся компактов и метода регуляризации Тихонова с выбором

параметра регуляризации по принципу невязки.

5. Начальнокраевая задача для уравнения теплопроводности

5.1. Постановка задачи.

5.2. Результаты расчетов.
Глава 2. Метод расширяющихся компактов и апостериорная оценка погрешности в случае нелинейных операторных уравнений.
1. Случай точно заданных операторов
2. Случай операторов, заданных с ошибками
Глава 3. Задача катодолюминесцентной микротомографии
1. Анализ методов 3х мерной катодолюминесценции.
2. Схема установки. Описание задачи
3. Область генерации и распределение неравновесных носителей. Интенсивность
катодолюминесцентной эмиссии
4. Фокусировка и пространственная дискретизация оптических лучей с помощью зеркального эллипсоида вращения. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале.
4.1. Качественные рассмотрения.
4.2. Расчет хода лучей в полуэллиптическом зеркале 5. Результаты численного моделирования и их анализ.
Схема эксперимента.
6. Обратная задача катодолюминесцентной микротомографии. Метод решения
6.1. Постановка задачи.
6.2. Метод решения обратной
задачи катодолюминесцентной микротомографии
6.3. Модельная задача. Анализ результатов
6.4. Возможность апостериорной оценки погрешности решения
Заключение.
Список литерату


Обычно трудности, возникающие при исследовании таких уравнений, связаны с незамкнутостью области значений оператора А и отсутствием непрерывной зависимости решения от правой части (неустойчивость или некорректность задачи). Пусть некоторым характеристикам г<= 2 соответствует элемент й - Агъ. С теоретической точки зрения важен вопрос о регуляризуемости (т. А и пары пространств 2 и и. Даже в случае линейного непрерывного оператора А и линейных нормированных пространств на этот вопрос следует дать отрицательный ответ [], например, уравнение нерегуляризуемо, если пространство 2 несепарабельно, а и сепарабельно []. Одной из важных характеристик любого приближенного метода является погрешность построенного приближенного решения. В работе рассматриваются вопросы апостериорного оценивания погрешности и оптимальности метода по порядку точности. Остановимся на этих понятиях более подробно. Приведем результаты, полученные Винокуровым в работах [,]. А„ = А. К не зависит от 5, а функция <р(<5) определяет скорость сходимости приближенного решения к точному. Существуют понятия точечных и равномерных оценок погрешностей решений. В случае точечных оценок решение I фиксировано, а константа К и функция (р(8) зависят от г. В случае равномерной оценки данное неравенство справедливо для некоторого множества М точных решений 2. Точечные оценки погрешности решений не представляют практического интереса, т. Результаты работы [] могут быть сформулированы следующим образом. Предположим, что обратный оператор А'1 неограничен на области определения 0(А~'). Считаем, что <р(5)-произвольная положительная функция, такая что <р(<5)-»0 при 5 ->0, /? Здесь Д(/? Я5. Видно, что равномерная оценка погрешности может существовать только на множестве первой категории в пространстве 2 . Примером множества первой категории является компактное множество в нормированном пространстве. В этом случае можно использовать специальные регуляризирующие алгоритмы для нахождения приближенного решения [,,,] и возможно построение равномерной оценки погрешности решения. Для некорректных задач в общем случае невозможно не только построить погрешность приближенного решения, но и даже оценить скорость сходимости приближенного решения к точному 2 . Однако для некоторых некорректных задач существует, так называемая, апостериорная оценка погрешности. Следуя [] для случая точного инъективного оператора А с замкнутым графиком и о -компактного пространства г определим функцию А(8,и5) такую, что VI е 2 (5) > О, е (0,5(5)), V«, € и |«5 -й| ? Л,(«,)| < Д(5. Функция Д(<5,м5) называется апостериорной оценкой погрешности, если Д(6,и*)—»0 при <5-»0. В работе [] также отмечено, что для вычисления апостериорных оценок погрешности может быть использована техника получения оценок модуля непрерывности обратного отображения на компактах. Модуль непрерывности вычислен для некоторого класса задач в работах [,]. Как было отмечено выше, для того чтобы построить равномерную оценку погрешности приближенных решений нужно рассматривать определенные множества решений. С технической точки зрения удобно использовать множества представимые в виде М = М, = {г : г = Bv>ve V, |у| < г}. Здесь V -гильбертово пространство, В : V -» 2 -заданный оператор, г -фиксированный параметр. Важные результаты теории равномерных оценок могут быть получены в двух случаях. Во втором случае оператор В рассматривается как функция оператора А Ау а V = 2 (см. Обычно целью таких подходов является то, чтобы доказать некоторые оптимальные свойства заданных методов и сравнить различные методы по скорости сходимости. При сравнительном анализе методов возникает необходимость получения точных (по порядку) оценок оптимальности методов, позволяющих судить о максимально возможной точности приближенного решения задачи. Исследование таких оценок для задач с точно заданным оператором можно, найти, например, в []. Поэтому важную роль играет понятие оптимальной точности, оптимального метода, оптимального по порядку точности метода. Эти определения различны в первом и втором подходах. Приведем данные определения для первого подхода. Ш6,5,г) = 5ир{||/? М, >Аг -и3|| < 3} . М5’г> = тГ{А(/и,г): /? Р>. А{К*'6-^)<к = соп*1 (В . О, и к не зависит от <5, г.