Исследование общей модели Кокса-Росса-Рубинштейна

• Автор: Кондратьева, Татьяна Николаевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Ростов-на-Дону
• Количество страниц: 161 с. : ил

1 ГЛАВА 1. Общая модель КоксаРоссаРубинштейна.

1.1 Анализ общей модели КоксаРоссаРубинштейна.

1.2 Безарбитражный и полный рынок.

1.3 Безарбитражный и неполный рынок. Верхняя цена.

1.4 Модель КоксаРоссаРубинштейна с жесткой скупкой акции.

1.5 Безарбитражный и неполный рынок. Нижняя цена.

1.6 Арбитражный рынок.

1.7 Реализация модели арбитражного рынка.

Выводы по первой главе.

2. ГЛАВА 2. Общая модель КоксаРоссаРубинштейна с шумом.

2.1 Координатное представление общей модели КоксаРоссаРубинштейна.

2.2 Исследование общей модели с шумом.
2.3 Хеджирование в среднем.
2.4 Классическая модель КоксаРоссаРубинштейна с шумом.
2.5 Вычисление оптимального хеджа для европейского опциона колл.
Основные результаты главы.
3. ГЛАВА 3. Оценка параметров модели.
3.1 Максимально правдоподобное оценивание.
3.2 Максимально правдоподобная оценка параметров смеси двух нормальных законов распределения.
3.3 Функция ошибок и оценка параметров модели.
3.4 Непараметрическая схема оценки параметров модели.
Выводы по третьей главе.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ


На основе этой модели в году Блэк и Шоулс получили точные формулы расчета справедливой цены опциона и хеджирующих стратегий дтя опционов европейского типа . Для дискретного времени аналогичную модель построили Кокс, Росс и Рубинштейн . Естественно потребовать, чтобы 0 Рпочти наверное. Адаптированность или Ря измеримость обозначает, что цена акции полностью определяется состоянием рынка на момент времени п, то есть не зависит от будущего развития событий. В большинстве случаев эту последовательность считают детерминированной или предсказуемой, то есть в момент времени п известно значение Вп. Заметим, что для наших технологий последнее предположение не является предопределяющим. Однако, отдавая дань традиции, будем считать цену банковского счета детерминированной последовательностью. Рд1 предсказуемую последовательность будем называть портфелем . В этой последовательности уп количество акций, рл количество единиц банковского счета. Мы не будем накладывать ограничений на значение уп и р. Следовательно, мы предполагаем, что имеется возможность брать взаймы и акции вместе с банковским счетом являются безгранично делимыми. Ряформируется в момент времени Л1. Капитал портфеля п это последовательность, которая в самом общем виде определяется соотношением
где адаптированная последовательность. ХпАп . ГА,Р,А. В равенствах 0. Соотношения 0. Хп РЯДЯ уяД5я я. Напомним, что все соотношения понимаются Р почти наверное. Доказательство этого факта можно найти в . Если О и ип 0, то портфель называется самофинансируемыч. Следующим важным понятием является арбитраж. Арбитраж на рынке предполагает возможность получения прибыли без риска. X 0, для которого О Р почти наверное и рх о 0. Остановимся теперь несколько подробнее на опционе. Опцион характеризуется двумя элементами ценой и платежным обязательством, которое берет на себя продавец опциона. Платежное обязательство может быть либо финальным, либо динамическим. Финальное платежное обязательство характерно для опционов европейского типа, динамическое характерно для опционов американского типа. Математически финальное платежное обязательство это измеримая неотрицательная случайная величина, динамическое платежное обязательство это адаптированная последовательность 1 неотрицательных случайных величин. Так в примере, изображенном на рис. У К та5у К,0 график изображен на рис. Рис. Зависимость финального обязательства от стоимости акции для опциона . Цена опциона соответствует платежному обязательству, которое берет на себя продавец опциона. Естественно, что для продавца и покупателя эти 4 цены кажутся разными. Формализуем этот факт. Назовем портфель ценных бумаг л верхним x, ,iхеджем для европейского американского опциона, если Хх,Хкн х, 1,2, Последние соотношения определяют класс верхних хеджей . Аналогично определяется нижний хедж заменой знака на знак и класс нижних хеджей . Теперь можно 4 определить верхнюю и нижнюю цену опциона. С1 i 0 х, V. О,С. С, то арбитражной ситуации не возникает ни для продавца ни дтя покупателя. Это обстоятельство оправдывает дтя интервала цен с. С название интервала приемлемых цен. Может случиться так, что дтя некоторого платежного обязательства дг нижняя цена совпадет с верхней ценойС. С.,Л хедж, дтя которого Х у такие хеджи будем называть совершенными. В этом случае можно говорить о справедливой цене опциона С С С. Теперь мы можем определить важную характеристику рынка, а именно, полноту рынка. Так вот, рынок называется полным, если дтя произвольного платежного обязательства найдется совершенный хедж. Более подробное объяснение рассмотренных характеристик рынка можно найти в монографии . Основные теоремы финансовой математики. В нашей работе мы будем часто ссылаться на две основные теоремы финансовой математики, которые приводятся здесь, чтобы не нарушать полноты изложения. Прежде чем изложить и прокомментировать основные теоремы приведем два важных определения. Дисконтированной ценой акции называется отношение цены
акции к банковскому счету. Мы предполагаем, что Вп 0 Р почти наверное.