Исследование математической модели гауссовского процесса с волатильностью в виде авторегрессионного процесса

• Автор: Сотникова, Елена Евгеньевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 129 с. : ил.

Введение

Глава 1. Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью

1.1 Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью в дискретном времени

1.1.1 Описание модели и ее характеристик

1.1.2 Оценка параметров модели 3 О

1.1.3 Проверка гипотезы о наличии двойной волатильности

1.2 Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью в непрерывном времени

1.2.1 Описание модели

1.2.2 Свойства процесса А,

1.2.3 Расчет характеристик процесса Яг

1.2.4 Оценка параметров модели

1.3 Гауссовский случайный процесс со случайной волатильностью при измерениях в случайные моменты времени
1.3.1 Описание модели и ее характеристики
1.3.2 Оценка параметров модели Резюме
Глава 2. Оптимальная линейная фильтрация гауссовского процесса со случайной волатильностью
2.1 Оптимальная линейная фильтрация гауссовского процесса со случайной волатильностью при измерениях через равные промежутки времени
2.1.1 Постановка проблемы
2.1.2 Нахождение параметров оптимального фильтра
2.1.3 Решение уравнения для весовых коэффициентов
2.2 Оптимальная линейная фильтрация в случае, когда моменты измерений образуют пуассоновский поток событий
2.2.1.Описание модели и постановка задачи
2.2.2. Расчет среднеквадратической ошибки фильтрации
2.2.3 Нахождение параметров оптимального фильтра
2.3 Оптимальная линейная фильтрация в случае, когда коэффициенты фильтра зависят от моментов наблюдений
2.3.1 Описание модели и постановка задачи
2.3.2 Вычисление средне квадратичной погрешности
2.3.3 Нахождение характеристик фильтра Резюме
Глава 3. Расчет средней цены производных ценных бумаг при случайной волатильности и процентной ставке
3.1 Расчет цены производной ценной бумаги при переменной волатильности и процентной ставке
3.2 Другой вывод цены производной ценной бумаги при переменной волатильности и процентной ставке
3.3 Среднее значение цены производной ценной бумаги
3.4 Нахождение параметров Х0 и у
3.5 Стоимость производной ценной бумаги при малых флуктуациях волатильности и процентной ставки
Глава 4. Распределение интеграла от случайной волатильности в случае, когда она образует чисто разрывный марковский процесс с двумя состояниями
4.1 Постановка задачи
4.2 Расчет вспомогательных величин для нахождения плотности вероятностей величины
4.3 Нахождение характеристической функции величины 5
4.4. Нахождение плотности вероятностей р5 величины 5
4.5 Асимптотика при больших ХхТ и гТ Ю
Резюме
Глава 5. Программное обеспечение
5.1 Общая характеристика программы
5.2 Основы работы с программой
5.3 Программная реализация
Резюме
Заключение
Литература


Фундаментальная проблема заключается в том, что траектория функции распределения, и как следствие, плотности вероятностей, моделируемых процессов не может быть точно определена. Свойства данной модели на случай малого набора наблюдений изучены в . В используется аналогичный подход и применяется метод полупараметрической оценки и дискретной аппроксимации функций сноса и диффузии. Идеи трудов , обобщены в статье , где также показано, что основанные на ядрах методы могут приводить к возникновению ложной нелинейности модели. Симуляционный метод сравнивает экспериментальные данные, полученные в результате наблюдений, произведенных в определенные моменты времени, с данными в некоторые симулированные случайные моменты времени. Этот подход применен для модели со случайной волатильностью . Эффективный метод моментов , подобен методу непрямого вывода, но обладает некоторыми недостатками. Главным достижением ряда работ является применение метода фильтрации, который позволяет производить оценку внутренних параметров в многомерных непрерывных моделях со случайной волатильностью, используя наблюдения, сделанные в дискретные моменты времени. Этим объясняется растущий интерес к фильтрационным методам в финансовотехнической литературе. В литературе подробно описан метод фильтрации для структурных моделей в дискретном времени , а также применен к дискретным моделям со случайной волатильностью . Решена задача фильтрации волатильности цен акций в моделях , , произведена оценка волатильности линейной структурной модели при помощи обычного фильтра Кальмана . Для оценки параметров нелинейных систем существует метод построения расширенного фильтра Кальмана, использование которого приводит к нахождению аппроксимированного решения. Однако для анализа моделей, содержащих функцию диффузии, зависящую от состояний системы, требуется построение фильтра более высокого порядка . Для оценки параметров подобных моделей используется метод максимального правдоподобия xi ii 6,. Модели со случайной волатильностью принадлежат к тому классу моделей, для которых необходимо использовать фильтры первого и второго порядка. Применение методов нелинейной фильтрации позволяет оценить ненаблюдаемые параметры и состояния широкого класса непрерывных моделей со случайной волатильностью. Следует отметить, что автору не удалось найти трудов, посвященных исследованию моделей, аналогичных представленным в данной диссертационной работе. Цель работы заключается в изучении дважды стохастического гауссовского процесса, волатильность которого зависит от управляющего случайного процесса. Найти вероятностные характеристики модели Самуэльсона изменения цен финансовых активов со случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка в непрерывном и дискретном времени. Построить оценки параметров данной модели, когда измерения проводятся в непрерывном времени в дискретном времени с равными интервалами между измерениями в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий. Обобщить формулу БлэкаШоулса на модель изменения цен со случайной волатильностью, рассматривая справедливую цену опциона как случайную величину и найти математическое ожидание справедливой цены опциона. Создать программное обеспечение для расчета всех указанных выше величин. Методика исследования. Исследование носило теоретический характер. При решении поставленных задач использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики, а также методы математики рынка ценных бумаг. Полученные результаты моделировались при помощи программного обеспечения с использованием численных методов. Положения, выносимые на защиту. Автор выносит на защиту следующие научные результаты. Статистические характеристики гауссовского случайного процесса с случайной волатильностью в виде авторегрессионного процесса первого порядка при измерениях через равные промежутки времени при измерениях в непрерывном времени при измерениях в случайные моменты времени, образующие пуассоновский поток событий постоянной интенсивности. Вид оценок параметров указанных выше моделей.