Гибридные решения уравнения Гамильтона-Якоби-Беллмана и их приложения к задачам синтеза управления распределенными системами

• Автор: Иванова, Александра Петровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 139 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Синтез управления нагревом тела при случайных внешних воздействиях

1.1 Математическое описание процесса управления нагревом тела. Постановка задачи

1.2 Сведение исходной задачи к задаче управления бесконечной системой стохастических джхеренциалъных уравнений первого порядка .
1.3 Уравнение ГамильтонаЯкобиВеллмана для системы стохастических дифференциальных уравнений первого порядка .

1.4 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиВеллмана.

Задача распределенного управления. Функционал Майера. . .

1.5 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана.

Задача управления одним актуатором. Функционал Майера. . 5С

1.6 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана.

Задача управления несколькими актуаторами.
Функционал Майера
1.7 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана. Задача распределенного управления. Функционал Лагранжа
1.8 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана.
Задача управления одним актуатором. Функционал Лагранжа.
1.9 Пример. Численный расчет линии переключения во внутренней области для 3. я1 функционал Лагранжа. .
1. Решение уравнения ГамильтонаЯкобиБеллмана.
Задача управления несколькими актуаторами.
Функционал Лагранжа
2 Управляемые колебания балок и пластин при случайных внешних воздействиях
2.1 Постановка задачи
2.2 Сведение исходной задачи к задаче управления бесконечной системой стохастических дифференциальных уравнений первого порядка
2.3 Уравнение ГамильтонаЯкобиВеллмана для системы стохастических дифференциальных уравнений
2.4 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиВеллмана. Задача распределенного управления. Функционал Майера
2.5 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиВеллмана для рас
пределенного управления.
Функционал Лагранжа.
2.6 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиВеллмана в случае управления актуаторам и.
Функционал Майера.
2.7 Решение уравнения ГамильтонаЯкобиВеллмана в случае управления актуаторами. Функционал Лагранжа.
2.8 Управление колебаниями пластины
Заключение
Список литературы


В работе предложены и программно реализованы численные методы решения рассматриваемых уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана, которые могут быть использованы при решении практических задач синтеза оптимального управления. В первой главе рассмотрена задача управления процессом нагрева (охлаждения) физического тела конечного объема О. Замечание. Во введении нумерация формул и утверждений совпадает с нумерацией в основном тексте диссертации. В п. Аи{х^ + а ^ 6(х - ж*)ц,(*) + ри)(х, I) + /(ж, *) 4- а (ж, *)? Здесь I - время, 0 < Ь < Т; х = (? Жз), г = 1,2,6(х — ж1) - дельта-функция Дирака; гт(ж, <) - плотность распределенных управляемых тепловых источников; аир- числа, принимающие значения 0 или 1» ? А - дифференциальный оператор, характеризующий процесс теплопередачи. Управление процессом нагрева (охлаждения) тела осуществляется путем выбора сосредоточенных функций Vi(t) (а = 1, Р = 0) или распределенных функций ги(ж,? На интенсивности и,(? Аг, р; - сопзЬ > 0. В случае распределенного управления управляющая функция гг(ж,? Н2. К уравнению (1. I), вид которых зависит от температурного режима на границе: поддерживается заданная температура, задан теплопоток, происходит теплообмен с окружающей средой. Не умаляя общности, сделав замену переменных и изменив соответствующим образом функцию /(х,? Е обозначает математическое ожидание, и*(х,? Относительно функции иЦх, *) получим уравнение (1. После замены (1. Решение краевой задачи (1. Коши (1. Ито [, ), а при каждом фиксированном / функция и(х, ? НА (пространству Соболева), порожденному симметричным положительно-определенным оператором А (1. ОМ) = /(М) - 9и - Ли'(х,г). Одним из наиболее эффективных способов решения краевых задач для уравнений в частных производных является метод разделения переменных (метод Фурье, метод собственных функций) [, , |. Метод Фурье позволяет произвести декомпозицию исходной задачи и свести задачу синтеза управления уравнением теплопроводности к задаче синтеза управления системой стохастических дифференциальных уравнений первого порядка. Метод декомпозиции исходной задачи на несколько более простых задач применялся в работах (, , ] для синтеза управления динамическими системами, описываемыми уравнениями Лагранжа 2-го рода. В работе [] был предложен метод построения управления, основанный на декомпозиции системы и применении оптимального по быстродействию управления для каждой моды движения, полученной в результате разложения решения по методу Фурье. В п. Решение ті(ж,$) уравнения (1. Здесь скобки означают скалярное произведение в пространстве Ь2. Представления (1. Подставляя функции в виде полученных разложений (1. ДО = -иА0 + «Е^(*(М0 + М(0 + /Д0 +<гД0С(0. Здесь и далее j-oe. Ь) - стандартный винсровский процесс [, ). В задаче управления тепловыми актуаторами (а = 1, /? Для задачи распределенного управления (а = 0, /3=1) ограничение на управление (1. Я2. Функционалы Майера (1. Лагранжа (1. Е [ $>? ДО = «ДО + Д0 + ^(0 + *Д0? Таким образом, исходная задача (1. Ито) при ограничениях (1. В п. Гам ил ьтона- коби- Веллмана. Известно, что к изучению процессов, протекающих во времени, к каковым относится и изучаемый процесс нагрева (охлаждения) стержня, можно подходить двумя различными способами. Один из подходов состоит в рассмотрении отдельных траекторий системы ||, а другой - в изучении свойств всего множества траекторий [6]. Метод динамического программирования является одним из распространенных методов построения оптимального управления в виде синтеза и основам на изучении всего множества траекторий системы. Функцией Веллмана называется функция, равная инфинуму минимизируемого (максимизируемого) функционала (критерия качества для управления) на траекториях исследуемой системы но всем допустимым управлениям. Рассмотрим систему (1. V уравнений. Обозначим функцию Веллмана через Ял (й,т) - минимальное значение функционала Майера (1. Лагранжа (1. Т — і система находится в состоянии й = (иь«2,. В задаче Майера с функционалом (1.