Балансно-характеристические схемы для дифференциальных уравнений гиперболического типа с инвариантами Римана

• Автор: Кобринский, Илья Михайлович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 145 с. : ил

ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. КРАТКИЙ ОБЗОР ПОДХОДОВ К ПОСТРОЕНИЮ РАЗНОСТНЫХ СХЕМ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

1. ЛИНЕЙНЫЕ ОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ

2. ИНТЕРПОЛЯЦИОННОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЙ ПОДХОД К ПОСТРОЕНИЮ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ АЛГОРИТМОВ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА.

Схема Уголок i i.

Схема ЛаксаВендроффа

Схема ван Лира.

Схема Крест .

Схема Кабаре .

3. АЛГОРИТМЫ С НЕЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ ПОТОКОВ.

VСХЕМЫ
СХЕМЫ
Алгоритм прыжкового переноса.
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ
Тест1.
Тест 2
Твст3.
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 1
ГЛАВА 2. БАЛАНСНОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ С РАЗДЕЛЕННЫМИ КОНСЕРВАТИВНЫМИ И ПОТОКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ.
1. СХЕМА КАБАРЕ .
2. ДВУХСЛОЙНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ СХЕМЫ КАБАРЕ .
3. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
4. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
5. ЧЕТЫРЕХЭТАПНЫЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ СХЕМЫ КАБАРЕ С НЕЛИНЕЙНОЙ КОРРЕКЦИЕЙ КОНСЕРВАТИВНЫХ И ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
6. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ.
7. БАЛАНСНОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ СХЕМЫ КАБАРЕ.
8. БАЛАНСНОХАРАКТЕРИСТИЧЕСКИЕ СХЕМЫ С РАЗДЕЛЕННЫМИ КОНСЕРВАТИВНЫМИ И ПОТОКОВЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
9. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ
ТЕСТ1.
Тест 2
Тест3.
. ДИССИПАТИВНЫЕ И ДИСПЕРСИОННЫЕ СВОЙСТВА НОВЫХ СХЕМ
И. ОТБРАКОВКА ПАРАЗИТНОГО КОРНЯ И СТАРТОВАЯ ПРОЦЕДУРА
. СРАВНИТЕЛЬНЫЕ РАСЧЕТЫ .
. ПЕРЕМЕННОЕ ПОЛЕ СКОРОСТЕЙ
. НЕЛИНЕЙНАЯ КОРРЕКЦИЯ КОНСЕРВАТИВНЫХ И ПОТОКОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
. УРАВНЕНИЕ КОНВЕКЦИИДИФФУЗИИ.
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ
ГЛАВА 3. ОДНО КВАЗИЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА.
1. СКАЛЯРНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА И ИХ СВОЙСТВА
2. ЗАДАЧА РИМАНА.
3. СХЕМА КАБАРЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ
4. АЛГОРИТМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ РАСЧЕТА УДАРНЫХ ВОЛН
5. ТОЧНОСТЬ РАСЧЕТА СИЛЬНЫХ РАЗРЫВОВ
6. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ КАБАРЕПРЫЖКОВЫЙ ПЕРЕНОС ДЛЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ С ВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИЕЙ УРАВНЕНИЯ СОСТОЯНИЯ
7. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ.
8. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С НЕВЫПУКЛОЙ ФУНКЦИЕЙ СОСТОЯНИЯ .
9. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВм.м
Задача
Задача
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 3
ГЛАВА 4. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЛАГРАНЖЕВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1. ПРОСТЕЙШАЯ СИСТЕМА НЕЛИНЕЙНЫХ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ РСИСТЕМА
2. ХАРАКТЕРИСТИЧЕСКАЯ ФОРМА ПРЕДСТАВЛЕНИЯ РСИСТЕМЫ. ВОЛНЫ РАЗРЕЖЕНИЯ. .
3. СХЕМА КАБАРЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ ДЛЯ РСИСТЕМЫ
Дискретизация области
Разностная схема.
Начальные данные и стартовая процедура.
Граничные условия
4. СХЕМА КАБАРЕ С МОНОТОНИЗАТОРОМ
5. КОНСЕРВАТИВНЫЙ ВАРИАНТ СХЕМЫ КАБАРЕ .
6. СРАВНЕНИЕ СО СХЕМОЙ КРЕСТ.
7. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ РСИСТЕМЫ.
8. АЛГОРИТМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА ДЛЯ РАСЧЕТА УДАРНЫХ ВОЛН
9. ПОДСЕТОЧНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН АЛГОРИТМОМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА
. ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ РСИСТЕМЫ. РАСПАД ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА.
И. АВТОМОДЕЛЬНОЕ ПОДСЕТОЧНОЕ ВОСПОЛНЕНИЕ
. ОБОБЩЕННАЯ ФОРМА АЛГОРИТМА ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА
. ТЕСТОВЫЕ ЗАДАЧИ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СКОРОСТИ
СХОДИМОСТИ
Задача об ускоряющемся поршне.
Две волны разрежения
Ударная волна и волна разрежения
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ 4
ГЛАВА 5. ПОЛИТРОПНЫЙ ГАЗ В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ.
1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
2. СХЕМА КАБАРЕ ДЛЯ РАСЧЕТА ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ.
3. СХЕМА КАБАРЕ С МОНОТОНИЗАТОРОМ
4. ПРИМЕРЫ РАСЧЕТОВ ВОЛН РАЗРЕЖЕНИЯ .
Вариант 1. Дозвуковая волна разрежения.
Вариант 2. Сверхзвуковая волна разряжения
Вариант 3. Трансзвуковая волна разряжения
Вариант 4. Разлет газа в пустоту.
5. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ И РАЗРЫВНЫЕ РЕШЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ ПОЛИТРОПНОГО ГАЗА В ЭЙЛЕРОВЫХ ПЕРЕМЕННЫХ
6. ЗАДАЧА О РАСПАДЕ ПРОИЗВОЛЬНОГО РАЗРЫВА
7. СИНТЕТИЧЕСКИЙ АЛГОРИТМ КАБАРЕПРЫЖКОВЫЙ ПЕРЕНОС .
8. ПОДСЕТОЧНОЕ РАЗРЕШЕНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН АЛГОРИТМОМ ПРЫЖКОВОГО ПЕРЕНОСА
9. ПРИМЕРЫ ТЕСТОВЫХ РАСЧЕТОВ И ЭМПИРИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СХОДИМОСТИ
Две волны разрежения
Ударная волна и волна разрежения
ВЫВОДЫ ПО ГЛАВЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ


Наиболее наглядным способом отображения амплитудных и дисперсионных ошибок является построение диссипативных и дисперсионных поверхностей. При этом по оси Ох откладывается число Куранта г, по оси Оу приведенное волновое число , по оси модуль перехода или приведенная фазовая скорость. Таким же образом можно построить поверхность для групповой скорости кото
рая показывает особенности распространения волнового пакета. Второй, третий и четвертый параграфы первой главы посвящены результатам, достигнутым в данной области в мире за последние лет. Это так называемые схемы высокой разрешающей способности V и . Кроме того, приведен алгоритм прыжкового переноса, дающий точное решение уравнения переноса. В пятом параграфе проводится сравнение результатов численных экспериментов. Для каждой схемы проведено три теста с различными начальными данными 2 горба, кусок синусоиды и прямоугольник. Такой выбор позволяет наглядно продемонстрировать достоинства и недостатки разностных схем. Для проведения тестов использовалась программа, разработанная в ходе работы над диссертацией. Подробнее ознакомиться с возможностями программы можно в приложении. Вторая глава посвящена описанию разностных схем нового типа для решения уравнения переноса. Схемы получили название баланснохарактеристические схемы с разнесенными потоковыми и консервативными переменными. Глава состоит из пятнадцати параграфов. В первом параграфе проводится детально рассмотрение схемы КАБАРЕ, которая является предшественницей баланснохарактеристические схем. Схема получена на основе интерполяционнохарактеристичного подхода к построению схем. В параграфе описаны основные свойства схемы КАБАРЕ. Во втором параграфе схема КАБАРЕ представлена в двухслойном виде. Для этого вводится дополнительный набор переменных, относящихся к центрам ячеек и названных консервативными. Переменные в узлах сетки называются потоковыми. В третьем и четвертом параграфах предложены процедуры нелинейной коррекции для потоковых и консервативных переменных соответственно. Потоковые переменные удерживаются в пределах минимумамаксимума по ячейке, а для консервативных переменных проводится перенос избытка восполнение недостатка в соседние ячейки. В пятом параграфе описан четырехэтапный алгоритм для схемы КАБАРЕ с нелинейной коррекцией консервативных и потоковых переменных и его основные свойства. В шестом параграфе проводится сравнение описанного алгоритма с двумя известными ТУЕ схемами. Для этого использовались три тестовые задачи единичную ступеньку, занимающую расчетных ячеек, всюду гладкая функция с большими градиентами 2 горба, положительной частью синусоиды. В восьмом параграфе второй главы описаны новые схемы, полученные уже только на ос нове баланснохарактеристического подхода. КАБАРЕ. Схемы обозначены аббревиатурой V ii i viv x Vi. Для схем описаны процедуры монотонизации. В девятом параграфе приведены результаты расчетов по схемам V. Использовались те же задачи, что и для сравнения схемы КАБАРЕ с V схемами. В десятом параграфе построены диссипативные и дисперсионные поверхности для новых схем. Поверхности позволяют подробно изучить свойства схем и определить, который из корней характеристического уравнения является хорошим, а какой паразитным. В одиннадцатом параграфе рассмотрена процедура отбраковки паразитного корня. От влияния паразитного корня можно избавиться согласованием начальных значений консервативных и потоковых переменных. В двенадцатом параграфе проводится сравнение схем V и КАБАРЕ. Изучение достоинств и недостатков схем в зависимости от числа Куранта приводит к идее гибридизации двух схем. Приведен один из возможных вариантов слияния. В тринадцатомчетырнадцатом параграфах второй главы приводится обобщение полученных схем на случай переменного поля скоростей. Переменное поле скоростей требует особенной процедуры коррекции консервативных и потоковых переменных. В пятнадцатом параграфе второй главы приводится обобщение полученных схем на уравнение конвекциидиффузии. Г лава состоит из девяти параграфов.