Алгоритмы, основанные на прикладной символической динамике

• Автор: Мизин, Денис Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 101 с. : ил

Введение

1 Символический образ

1.1 Псевдотраектория динамической системы.

1.2 Построение символического образа

2 Энтропия динамической системы

2.1 Топологическая энтропия или мера недетерминированности

системы.

2.2 Оценка топологической энтропии

2.3 Символическая динамика

2.4 Энтропия и символический образ

2.5 Вычисление энтропии 5пространства

2.6 Энтропия гомеоморфизма, удовлетворяющего условию Липшица
2.7 Примеры вычислений оценок топологической энтропии .
2.7.1 Энтропия отображения Хенона
2.7.2 Энтропия логистического отображения
2.7.3 Трехмерное логистическое отображение.
3 Структурная матрица динамической системы
3.1 Определение структурной матрицы динамической системы .
3.2 Структурный граф символического образа
3.3 Обоснование метода вычисления структурной матрицы .
3.4 Примеры вычислений оценок структурной матрицы.
3.4.1 Линейная система
3.4.2 Отображение Икеда.
Введение


Псевдотраектория динамической системы. Примеры вычислений оценок топологической энтропии . Трехмерное логистическое отображение. Определение структурной матрицы динамической системы . Обоснование метода вычисления структурной матрицы . Примеры вычислений оценок структурной матрицы. Отображение Икеда. Изучение физических процессов приводит нас к построению математических моделей, описывающих данный процесс. Модели всегда рассматриваются при некоторых условиях, то есть разумных ограничениях на входящие в них величины и параметры и представляют собой уравнения, дифференциальные уравнения или их системы, описывающие изучаемый процесс в терминах математических объектов. Примеры таких моделей известны модели движения маятника х цх втя 0, ц 0. Практически важной задачей является исследование поведения решений систем. В основном математические модели какоголибо процесса или явления представляют собой нелинейные системы и как правило, не удается получить решение в виде формулы. А если даже такая формула и получена, то это еще не гарантирует знания поведения решения, так как изучение свойств известной функции может оказаться достаточно сложной задачей. Нынешний период в развитии нелинейной динамики можно назвать периодом динамического хаоса. Оказалось, что существуют простые динамические системы, которые могут вести себя сложно. Скорость этого разбегания определяется старшим ляпуновским показателем, а скорость расползания большого количества бесконечно близких траекторий энтропией динамической системы. Поведение хаотической динамической системы во времени оказывается довольно сложным. Примером может служить известное отображение С. Смейла, известное иод названием подкова С мейла. Было показано, что временному поведению динамической системы может отвечать движение точки по бесконечно разорванному множеству впоследствии такие множества получили название фрактальные. Хаотическая динамическая система объединяет в себе глобальную устойчивость траектория не уходит из некоторой области фазового пространства с локальной неустойчивостью малые погрешности начальных данных нарастают, близкие траектории расходятся. В начале х годов качественная теория и концепция динамического хаоса позволили предложить новый подход к некоторым классическим задачам, например, к проблеме гидродинамической турбулентности анализу сложной картины течения жидкости при больших скоростях. Предшествующие теории предполагали, что для описания турбулентности нужны модели с большим числом дифференциальных уравнений. Концепция динамического хаоса позволяет надеяться, что хотя бы в некоторых случаях за сложным временным поведением может скрываться сравнительно простая математическая модель. Например, работа американского метеоролога Э. Лоренца показала, что неувязки со среднесрочным прогнозом
погоды связаны не с недостаточно подготовленными сотрудниками станции и не со слабой аппаратурой. Причина, кроется в достаточно сложном поведении системы хаотическом, которая описывается простой математической моделью. Естественно, возникает вопрос об исследовании хаоти ческих динамических систем, об их сравнении между собой. Какая система наиболее хаотична, предсказуема или наиболее вероятна для прогноза. Вопервых, очень часто на асимптотической стадии траектория стремится к притягивающему множеству фракталу термин фракталот лат. ГгасШй дробный был введен в г. Мандельбротом. Простейший и широко известный пример фрактала это канторово множество см. Рис. Первые пять шагов построения канторова множества. Отличительной чертой, присущей многим но не всем фракталам, является то. Возникает эффект самоподобия. I

. Рис. А шаг. Хенона.