Устойчивое решение некорректных задач продолжения гармонических функций и их приложения в термографии и геофизике

• Автор: Ланеев, Евгений Борисович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 220 с. : ил.

Оглавление
ВВЕДЕНИЕ
1 Некоторые задачи термографии и геофизики, приводящие к обратной задаче потенциала и задаче Коши для уравнения Лапласа
1.1 Обратная задача термографии. Сведение к обратной задаче потенциала. Концепция аналитического продолжения.

1.1.1 Проблема обработки и интерпретации термографических изобра

жений

1.1.2 Физическая и математическая модель. Постановка обратных задач

1.1.3 Связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала ОЗП. Некорректность обратных задач термографии . .
1.1.4 Концепция аналитического продолжения. Сведение обратных задач термографии к задачам Коши для уравнения Лапласа . .

1.2 Задача продолжения потенциального поля

1.2.1 О постановках периодических задач продолжения потенциального поля с данными на произвольной поверхности и их связь с задачей Коши для уравнения Лапласа
1.2.2 О погрешности периодической модели в задаче продолжения потенциального поля
1.2.3 Связь с обратной задачей потенциала.
1.2.4 Линейная обратная задача потенциала связь поля с характеристической функцией носителя плотности источников поля .
2 Задача Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхностях
ф общего вида
2.1 Некоторые постановки задач Коши для уравнения Лапласа с данными
на произвольной поверхности. Некорректность.
2.2 Задача Коши для уравнения Лапласа. Устойчивые методы решения . .
2.3 Задача Коти для уравнения Лапласа. Точное решение.
2.3.1 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями первого рода.
2.3.2 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями второго рода.
2.3.3 ЗКУЛ с данными Коши на замкнутой поверхности
2.4 Задача Коши для уравнения Лапласа. Устойчивое решение.
2.4.1 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями первого рода.
2.4.2 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями второго рода.
2.4.3 Устойчивое решение ЗКУЛ с данными Коши на замкнутой по
верхности.
2.5 Об усточивом решениии ЗКУЛ с приближенно заданной границей .
2.6 Функция КарлеманаЛаврентьева.
3 Устойчивое решение задачи продолжения температурного поля
3.1 Устойчивое продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения
3.1.1 Продолжение температурного поля в случае граничных условий первого рода
3.1.2 Продолжение температурного поля в случае граничных условий второго рода
3.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности
3.2.1 Определение начала сферической системы координат как центра масс источников тепла.
3.2.2 Обработка термограмм продолжением температурного поля с замкнутой поверхности.
4 Устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля
4.1 Устойчивое решение задачи продолжения вертикальной составляющей потенциального поля.
4.2 Устойчивое продолжение потенциального поля с учетом погрешности периодической модели
4.3 Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля
4.4 Об устойчивом продолжении негармонических потенциальных полей .
4.5 О равномерном устойчивом приближении решения задачи продолжения потенциального поля.
4.6 Сходимость устойчивого приближенного решения задачи продолжения потенциального поля по мере.
4.7 Метод РунгеРичардсона уточнения продолженного поля по расширяющимся областям.
5 ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ
5.1 Об особенностях применения метода Фурье при численном решении
задачи продолжения потенциального поля.
5.1.1 Постановка задачи и ее точное решение .
5.1.2 Вычисление коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи
5.1.3 Оценка погрешности при дискретизации задачи
5.1.4 Построение и оценка погрешности устойчивого приближенного решения задачи в случае неточно заданных граничных значений
5.2 Вычислительные алгоритмы для задачи термографии
5.2.1 Продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения .
5.2.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности . .
6 Вычислительный эксперимент
6.1 Обработка термографических изображений методом гармонического
продолжения
6.1.1 Обработка модельных термографических изображений продолжением в цилинрическую область.
6.1.2 Численное продолжение температурного поля с замкнутой поверхности
6.1.3 Обработка реальных термографических данных
6.2 Численное продолжение потенциального поля.
6.2.1 Численное продолжение поля в горизонтальной плоскостях на модельных примерах .
6.2.2 Восстановление формы неоднородности в плане и сходимость продолженного поля по мере
6.2.3 Уточнение продолженного паля методом РунгеРичардсона . . .
Заключение
Литература


В шестой главе приведены результаты вычислительного эксперимента на модельных примерах, а также примеры обработки реальных данных. В заключении перечислены основные оригинальные результаты содержащиеся в диссертации. Полученные в диссертации результаты опубликованы в работах , ИЗ и докладывались на Всесоюзной школе семинаре по некорректным задачам г. Саратов, , Всесоюзных конференциях Вычислительная физика и математическое моделирование г. Волгоград, и гг. Дубна, , Международной конференции Компьютерное моделирование и компьютерные методы в физике Дубна, , Международных конференциях Актуальные проблемы вычислительной физики Дубна, , гг. VIII Белорусской международной математической конференции Минск, , V Международном конгрессе по математическому моделированию Дубна, , Международной конференции Вычислительные методы в прикладной математике Минск, , семинаре В. Б.Гласко на физическом факультете МГУ, семинаре по уравнениям в частных производных В. Н.Масленниковой в РУДН, семинарах Е. П.Жидкова в ЛИТЛВТА ОИЯИ. Обратная задача термографии. Сведение к обратной задаче потенциала. Проблема обработки и интерпретации термографических изображений. В настоящее время широкое распространение получили приборы, позволяпющие вести наблюдение объектов в инфракрасном диапазоне. Это тепловизоры 2, приборы ночного видения и т. Известно, что всякое нагретое тело является источником электромагнитного излучения . Для слабонагретых тел от 0 до 0 С максимум излучения приходится на инфракрасную область спектра. Т4, о . Таким образом, регистрируя излучение с элементов поверхности объекта, в принципе можно получить распределение температуры на его поверхности термограмму. Эта термограмма в той или иной степени отражает распределение источников тепла внутри объекта, которое в свою очередь дает представление о внутренней структуре объекта или об изменениях в этой структуре по сравнению с эталонной и т. Это особенно важно в случае, когда объект удален, либо его внутрення структура не доступна прямому исследованию без разрушения объекта. В течение последних двадцати лет методы тепловидения а также исследования температурных полей с другими принципами измерения , , 1, 2 интенсивно развиваются и их результаты широко применяются в медицине, биологии, промыш ленности и других областях. Ю.В. ГуЛяева, продолжаются его сотрудниками Э. Э.Годиком и другими. Отметим, что изображение источников тепла на термограмме формируется как результат процесса теплопроводности и не соответствует гипотетическому изображению структуры источников на основе геометрической оптики и, следовательно, в принципе нуждается в коррекции. Коррекция может быть произведена в рамках какойлибо математической модели, позволяющей по информации о поле температур на поверхности с той или иной точностью восстановить структуру источников и подучить их адекватное изобрвжение обработанную термограмму. Физическая и математическая модель. При этом будем считать также, что внутренняя структура источников, связанная с источниками тепла может рассматривается как не изменяющаяся во времени. V1 М I о, 1. Расммотрим три варианта постановки модельных задач, отличающихся формай области и краевыми условиями. Будем считать, что поверхность 5 объекта, с которой снимается термограмма контактирует со средой например, воздушной, в которой за счет конвекции обеспечивается быстрый отвод тепла от объекта, а,, следовательно, постоянство во времени температуры окружающей среды вблизи тела. Рассмотрим три варианта постановки модельных задач, отличающихся формой области и краевыми условиями. ЗАДАЧА I. Имея в виду в дальнейшем применение формул Грина к решению задач, будем считать, что дБ достаточно гладкая поверхность , то есть из класса С2. ЗАДАЧА II. Пусть объект представляет собой цилиндр прямоугольного сечения, см. Рис. Xi 0 у v, x, у Я, 1. Рис. Область 0Гос и поверхность 5. Гх,у,Г С2П0, 1. Пг х,у,х 0 х ху 0 у у, г сош. Па боковых гранях поддерживается постоянная температура С0 на поверхности 5 теплообмен со средой температуры 0. Ни0 и
их0,1, Со, мо, Ц Со при 2 ОС. ЗАДАЧА III.