Устойчивые и хаотические режимы в дискретных динамических системах : Аттрактор Лоренца и модель нейронной сети Кропотова-Пахомова

• Автор: Черных, Герман Анатольевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 103 с. : ил.

Содержание
Введение.

1 Дискретизированная система Лоренца.

1.1 Методы дискретизации.

1.1.1 Метод пространственновременной дискретизации

1.1.2 Метод центроидальной пространственновременной дискретизации

1.2 Дискретный аттрактор Лоренца.

1.3 О роли параметров алгоритма дискретизации

1.3.1 Шаг решетки

1.3.2 Вершины дискретных циклов

1.3.3 Шаг на решетке.

Приложение. Программное обеспечение.
2 Модифицированная модель нейронной сети Кропотова Пахомова
2.1 Формулировка оригинальной модели.
2.2 Модификация модели.
2.2.1 Принцип Хэбба
2.2.2 Охлаждение.
2.2.3 Формулировка модифицированной модели .
2.3 Выбор параметров
2.4 Виды динамических режимов
2.5 Фазы динамических режимов и фазовые переходы . .
2.6 Энтропия рассинхронизации и энтропия связей
2.7 Периодический режим .
2.7.1 Структура сети в установившемся простом периодическом режиме.
2.7.2 Структура сети в установившемся сложном периодическом режиме
2.7.3 Вынужденные длиннопериодические колебания
2.7.4 Собственные длиннопериодические колебания
2.8 Непериодический режим
Приложение 1. Запись и воспроизведение
последовательностей образов
Приложение 2. Программное обеспечение.
Заключение.
Список литературы


Дискретизированная система регулярна, так как однозначно определен переход от предыдущей точки траектории к последующей. Хаос исходной системы проявляется в нетривиальной топологии циклов, образующих дискретный аттрактор. Ключевыми параметрами алгоритма дискретизации являются расстояние между узлами решетки а, ассоциируемое с упомянутой выше конечной точностью вычислений, и, так называемый, «шаг на решетке» 6, определяющий расстояние между соседними точками дискретных траекторий. Среднее количество циклов в аттракторе не зависит от параметров алгоритма, а так как аттрактор исходной системы является ограниченным множеством, то параметр а задает сложность дискретных циклов и определяет верхний предел на количество точек в аттракторе. Параметр 6 преимущественно влияет на гладкость циклов, поэтому при рассмотрении различных нелокальных характеристик циклов аттрактора его можно фиксировать. Естественно ожидать, что с уменьшением шага решетки сложность циклов, в частности, их длины должны возрастать. Удобной характеристикой, позволяющей оценить сложность аттрактора, является суммарная длина / циклов его составляющих. Оказывается, что зависимость 1(а) при фиксированном Ь представляет собой кусочно-непрерывную функцию и обладает рядом интересных свойств. При вариации шага решетки в пределах каждого отдельного непрерывного участка зависимости 1(а) все изменения аттрактора сводятся к незначительным сдвигам координат точек циклов, поэтому его структура сохраняется. Точки разрыва функции 1(а) соответствуют перестроению аттрактора, при котором в общем случае изменяется и форма отдельных циклов и их количество. Длины непрерывных участков на несколько порядков меньше текущих значений а. Они также стохастично зависят от а и в среднем падают при а -> 0. С уменьшением шага решетки амплитуда флуктуаций величины I увеличивается. Если разбить область изменения а на непересекающиеся интервалы и вычислить для каждого интервала среднее и дисперсию, то получим, что среднее величины I растет при а —>¦ 0 пропорционально а-^, где /2 > 0, а ее дисперсия — пропорционально аГи, причем и ~ 2/г. По мере роста амплитуды флуктуаций величины 1(a) положение нижней границы флуктуаций практически не изменяется. Это означает, что, несмотря на увеличиваклцуюся в среднем сложность циклов, даже в области малых значений параметра а существуют точки, при которых дискретный аттрактор имеет простую структуру и состоит из единственного простейшего нетривиального2 цикла, имеющего только по одному витку в каждом из полупространств х < 0 и х > 0. Пространственное положение этих циклов в процессе снижения шага решетки стабилизируется, поэтому уместно говорить о существовании предела при а -> 0. Аналогичная картина происходит и с другими циклами. На основании проведенных численных экспериментов в качестве правдоподобной гипотезы можно выдвинуть утверждение о том, что всю совокупность циклов, полученных при всевозможных шагах решетки, можно разбить на классы эквивалентности, каждому из которых будет сопоставлен свой предельный цикл при а —> 0. Пространственное расположение дискретных циклов в обл<1-сти аттрактора определяется положением так называемых нестабильных периодических орбит (unstable periodic orbit UPO), которые являются замкнутыми решениями исходной недискре-тизированной системы. Существование этих объектов доказано аналитически, и имеются разнообразные вычислительные методы по их поиску (см. Если предположить, что между классами эквивалентных циклов и UPO существует взаимооднозначное соответствие, а это проверено для некоторого количества случаев, то рассматриваемый алгоритм дискретизации может быть использован не только для локализации UPO, но и для их классификации. Вышеупомянутые предельные циклы при определенных условиях на процедуру снятия регуляризации могут рассматриваться в качестве «хороших кандидатов» в UPO. Построение более сложных характеристик хаотических систем на основе дискретных циклов приведено в работе []. Нетривиальными мы называем циклы, лежащие но обе стороны от плоскости х = 0.